Ejercicios resueltos. (Carothers). Ampliación (7)

Vamos a demostrar de otra manera el resultado del ejercicio 2.c de la entrada (2) correspondiente a los ejercicios resueltos del texto de N. L. Carothers.

Se trata de probar que si A es un conjunto acotado y B es el conjunto de sus cotas superiores, entonces

\sup A = \inf B.

Como el conjunto A está acotado, es obvio que el conjunto

B = \{ u : u \geq a, \forall a \in A \}

es no vacío pues está formado por todas las cotas superiores de A. Además si a es un elemento cualquiera de A, la definición de B implica que B está acotado inferiormente por a. El axioma del supremo garantiza entonces la existencia del ínfimo de B (la mayor de sus cotas inferiores), que denotaremos por \inf B. Como \sup A es una cota superior de A, se tiene que

\sup A \in B,

por lo que

\inf B \leq \sup A.

Si fuera \inf B < \sup A, entonces hallaríamos un elemento u \in B de forma que

u < \sup A.

Pero esto es imposible pues entonces \sup A no sería una cota superior mínima de A. En consecuencia,

\inf B = \sup A.

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