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Ejercicios resueltos. (Carothers). Ampliación. (6)

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En la entrada (5) de los ejercicios resueltos de Carothers veíamos en el ejercicio 10 una sucesión de la forma:

, ,

cuyo desarrollo más informal sería

, veces.

Vamos a generalizar estas sucesiones recurrentes en dos variantes:

, , ,

, .

Demostraremos que ambos tipos convergen y hallaremos sus límites.  En el primer caso el proceso es análogo al expuesto en el problema 10. En efecto, sabemos que , probaremos por inducción que para todo . Sea cierto que , para  entonces

,

de donde

.

El carácter creciente de es también inmediato. Pues si , para todo , entonces

,

.

Si , entonces de

,

concluimos que , es decir, y .

El siguiente tipo resulta más interesante. La expresión de la recurrencia es

, ,

lo que nos permite escribir

,

.

Esta ecuación nos va a servir de “guía” para resolver el problema. Escribimos

,

donde no tenemos dos variables sino sólo una (). Las soluciones de esta ecuación son

, .

Como , la solución es positiva y es negativa. Dibujamos ahora una parábola correspondiente a la gráfica de para servirnos de guía (hemos puesto c=4,5 pero cualquier otro valor positivo nos sirve).

Si suponemos que , entonces 

pues los valores de en la parábola serían negativos. Esto quiere decir que

,   .

Es decir, la sucesión es creciente. Pero, ¿será también .  Si suponemos lo contrario tenemos que , lo que haría que

Es decir,

, .

Pero esto es absurdo por lo que concluimos que si para algún es , entonces la sucesión es monótona creciente y está acotada superiormente por . Análogamente se puede probar que si para algún es , entonces la sucesión es monótona decreciente y está acotada inferiormente por . Por definición era , de donde como podemos comprobar:

,

,

,

.

Así pues, la sucesión será creciente y acotada superiormente y su límite vale precisamente

.

Veamos ahora otra forma de demostrar la acotación de la sucesión del ejercicio 11. Usaremos  la desigualdad entre las medias aritméticas y geométricas. Recordemos que esta desigualdad nos dice que si son números positivos, entonces

.

Como la sucesión era

,

siendo y también , podemos escribir

,

lo que prueba que todo término de la sucesión es mayor o igual que .

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