MATEMATICAS.NET

Ejercicios resueltos. (Carothers) (5)

Anuncios

Solución:

10.  Observemos que todos los términos de esta sucesión son positivos. Esto es importante pues nos permite plantear desigualdades que de otra forma no tendrían sentido. Pobaremos que esta sucesión está acotada superiormente por 2. Lo haremos por inducción sobre . Para es inmediato que . Sea cierto para dado, entonces y de aquí . Por tanto, para todo . Veamos que es una sucesión creciente. Para ello utilizamos la acotación ya demostrada y de ella deducimos que

.

Multiplicando ambos miembros por y simplificando, obtenemos

.

Al ser la sucesión creciente y acotada superiormente tiene límite en la recta real y su valor es el supremo del rango de la sucesión. Para determinarlo vamos a transformar la expresión recurrente en una expresión explícita. Vemos que

, .

Podemos concluir que la expresión explícita será . En efecto, esta afirmación se puede probar por inducción de forma sencilla (dejamos esto en manos del lector).

En este punto, debemos recordar la expresión de la suma de términos de una progresión geométrica , de razón :

.

Como es una progresión geométrica de razón , podemos simplificar más aún la fórmula explícita aplicando la fórmula anterior. Quedará entonces

.

Si hacemos el límite de esta expresión obtenemos

.

11. Veremos que la sucesión está acotada. Para ello la relación de recurrencia se puede simplificar de manera que

, para todo n. (1)

Esto significa que el valor real satisface dicha ecuación y esto sólo será posible si el discriminante de dicha ecuación es positivo:

. (2)

Es decir, , . (3)

Como , será entonces , para todo .

Ahora veremos que es monótona decreciente. En efecto, planteamos

.

Como el denominador es positivo y el numerador es negativo (ver (2),) el cociente es negativo y la sucesión es decreciente.  Con todo lo visto ya sabemos que tiene límite y que dicho límite es el ínfimo de su rango. Para calcularlo, utilizamos de nuevo la aritmética de los límites y despejamos su valor en la ecuación de recurrencia (1). Esto, es si , entonces

.

Esto es, y .

Anuncios