Ejercicios resueltos. (Carothers) (5)

Carothers-10-11 Solución:

10.  Observemos que todos los términos de esta sucesión son positivos. Esto es importante pues nos permite plantear desigualdades que de otra forma no tendrían sentido. Pobaremos que esta sucesión está acotada superiormente por 2. Lo haremos por inducción sobre n. Para n=1 es inmediato que a_n = \sqrt{2} \leq 2. Sea cierto para n dado, entonces a_n \leq 2 y de aquí a_{n+1} = \sqrt{2a_n} \leq \sqrt{2 \cdot 2} = \sqrt{4} = 2. Por tanto, a_n \leq 2 para todo n. Veamos que es una sucesión creciente. Para ello utilizamos la acotación ya demostrada y de ella deducimos que

\sqrt{a_n} \leq \sqrt{2}.

Multiplicando ambos miembros por \sqrt{a_n} y simplificando, obtenemos

a_n =\sqrt{a_n} \sqrt{a_n} \leq \sqrt{2} \sqrt{a_n} = \sqrt{2 a_n} = a_{n+1}.

Al ser la sucesión creciente y acotada superiormente tiene límite en la recta real y su valor es el supremo del rango de la sucesión. Para determinarlo vamos a transformar la expresión recurrente en una expresión explícita. Vemos que

a_1 = 2^{1/2}, \quad a_2 = (2 \cdot 2^{1/2})^{1/2} = 2^{1/2} \cdot 2^{1/4} = 2^{1/2 + 1/4}, a_3 = (2 \cdot 2^{1/2 + 1/4})^{1/2} = 2^{1/2} 2^{1/4 + 1/8} = 2^{1/2 + 1/4 + 1/8}.

Podemos concluir que la expresión explícita será a_n = 2^{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^{k}}}. En efecto, esta afirmación se puede probar por inducción de forma sencilla (dejamos esto en manos del lector).

En este punto, debemos recordar la expresión de la suma de n términos de una progresión geométrica x_n, de razón r:

x_1 + x_2 + \ldots + x_n = \frac{x_1 -r x_n}{1-r}.

Como x_n = (\frac{1}{2})^{n} es una progresión geométrica de razón \frac{1}{2}, podemos simplificar más aún la fórmula explícita aplicando la fórmula anterior. Quedará entonces

a_n = 2^{\frac{1/2 - (1/2)^{n+1}}{1/2}} = 2^{1-(\frac{1}{2})^n}.

Si hacemos el límite de esta expresión obtenemos

\lim_n a_n = 2^{\lim_n 1-(\frac{1}{2})^{n}} = 2.

11. Veremos que la sucesión x_n está acotada. Para ello la relación de recurrencia se puede simplificar de manera que

x_{n}^2-2 x_{n+1} x_n+a = 0, para todo n. (1)

Esto significa que el valor real x_n satisface dicha ecuación y esto sólo será posible si el discriminante de dicha ecuación es positivo:

\Delta = 4 x_{n+1}^2 - 4a \geq 0. (2)

Es decir, x_{n+1}^2 \geq a, x_{n+1} \geq \sqrt{a}. (3)

Como x_1 > \sqrt{a}, será entonces x_n \geq \sqrt{a}, para todo n.

Ahora veremos que es monótona decreciente. En efecto, planteamos

x_{n+1} -x_{n} = \frac{1}{2} (x_n +\frac{a}{x_n}) - x_n =\frac{a}{x_n}-\frac{x_n}{2} = \frac{a -x_{n}^2}{ 2 x_n}.

Como el denominador x_n es positivo y el numerador a-x_{n}^2 es negativo (ver (2),) el cociente es negativo y la sucesión es decreciente.  Con todo lo visto ya sabemos que tiene límite y que dicho límite es el ínfimo de su rango. Para calcularlo, utilizamos de nuevo la aritmética de los límites y despejamos su valor en la ecuación de recurrencia (1). Esto, es si \lim_n x_{n} = l, entonces

\lim_n (x_{n}^{2} -2 x_{n+1} x_{n} +a) = l^2 -2 l^2 +a = 0.

Esto es, a-l^2 = 0 y l = \sqrt{a}.

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