Curso EVT. Lectura 8. Notas aclaratorias (2)

Vamos enunciar el lema de Zorn, el cual hemos utilizado para los resultados de la lectura 7. Hemos de señalar que, en realidad, el lema de Zorn, es equivalente al axioma de elección y aunque no demostraremos tal equivalencia (el lector interesado puede ver una prueba en el texto “Naive Set Theory” de Halmos) daremos sus definiciones y otras equivalencias.

El axioma de elección se suele incluir en la mayoría de las teorías axiomáticas de conjuntos. Es de enorme importancia en la matemática moderna para la deducción de resultados en gran cantidad de sus ramas. Sin embargo, está sujeto a una gran controversia pues su aplicación permite algunas paradojas físicas como la de Banach-Tarski (es una afirmación, publicada en 1924, en la que una esfera puede ser dividida en 5 conjuntos no medibles de puntos los cuales se pueden reacomodar en dos esferas del mismo volumen). Para clarificar su naturaleza empezaremos con una definición.

Definición: Función de elección.
Sea X un conjunto no vacío. Dada una familia no vacía (A_{i})_{i \in I} de subconjuntos no vacíos de X, se define una función de elección como una función f de I en X tal que para cada i de I es f(i) un elemento de A_{i}.

Es decir, una función de elección “escoge” un elemento de cada conjunto de una familia no vacía cualesquiera de conjuntos no vacíos.

Definición. Producto cartesiano.
Sea (A_{i})_{i \in I} una familia no vacía de conjuntos no vacíos. El producto cartesiano de la familia es el conjunto de todas las funciones de elección definidas sobre dicha familia. Se notará por \times_{i \in I} A_{i}.

La existencia de funciones de elección (y en consecuencia de productos cartesianos cualesquiera) no se puede garantizar sin más. Esto es lo que pretende el axioma de elección.

Axioma de elección.El producto cartesiano de una familia no vacía de conjuntos no vacíos es no vacío.

De acuerdo con nuestras definiciones este axioma es equivalente al siguiente.

Primer axioma equivalente: Para cada familia no vacía de conjuntos no vacíos existe una función de elección.

En efecto, si (A_{i})_{i \in I} es una familia no vacía de conjuntos no vacíos, el conjunto X = \cup_{i \in I} A_{i} existe en virtud del axioma de la unión. Es obvio que cada A_{i} es un subconjunto de X. Cada función f:I \rightarrow X que cumpla que para todo i \in I es f(i) \in A_{i} es una función de elección. La no vacuidad del producto cartesiano equivale a la existencia de al menos de una de estas funciones.

Existen otros enunciados equivalentes al axioma de elección, uno de los más conocidos es el siguiente.

Postulado de Zermelo. Sea (A_{i})_{i \in I} una familia no vacía de conjuntos disjuntos no vacíos. Existe entonces un subconjunto S de \cup_{i \in I} A_{i} cuyo intersección con cada A_{i} de la familia consta de un sólo elemento.

Pasemos a demostrar la equivalencia.

Teorema. El axioma de elección es equivalente al postulado de Zermelo.
Prueba. Sea (A_{i})_{i \in I} una familia disjunta no vacía de conjuntos no vacíos y sea X= \cup_{i \in I} A_{i} la unión de los elementos de dicha familia. Si suponemos que existe una función de elección f:I \rightarrow X, podemos formar el subconjunto S de X dado por

S = \{f(i) : i \in I \},

el cual será no vacío y cumplirá S \cap A_{i} = \{f(i) \} para cada i \in I. Esto prueba el postulado de Zermelo a partir del axioma de elección. Veamos el recíproco. Sea cierto el postulado de Zermelo y sea (A_{i})_{i \in I} una familia no vacía de conjuntos no vacíos (no necesariamente disjuntos). Para cada i de I, definimos el conjunto B_{i} = A_{i} \times \{i \} y la familia (B_{i})_{i \in I} resultará no vacía y formada por conjuntos no vacíos y disjuntos. Podemos pues aplicar el postulado de Zermelo para obtener un subconjunto S de la unión \cup_{i \in I} B_{i} tal que para cada i de I, la intersección

S \cap(\cup_{i \in I} B_i)

consta de un sólo elemento. Ahora bien, por definición de los B_{i}, la intersección será de la forma (a_{i}, i), con a_{i} \in A_{i} para cada i \in I. Esto nos permite definir una función de elección f sobre la familia (A_{i})_{i \in I}, mediante f(i) = a_{i} para cada i \in I. Por tanto, el postulado de Zermelo implica el axioma de elección y esto termina nuestra demostración.

Como ya hemos indicado otro de los enunciados equivalentes al axioma de elección es el Lema de Zorn. Para definirlo damos antes una serie de nociones básicas sobre orden. Consideremos un conjunto X, no vacío. Sabemos que una relación \preceq definida en X es un orden parcial si es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Un conjunto dotado de una relación de orden parcial se dice parcialmente ordenado y escribimos x \preceq y para indicar que los elementos x e y de X están relacionados mediante el orden, leyéndose x es menor o igual que y. Si x e y son dos elementos de X, se dice que son comparables si x \preceq y o bien y \preceq x. Un conjunto parcialmente ordenado donde todos sus elementos son comparables se dice que está totalmente ordenado.

En un conjunto parcialmente ordenado hay una serie de elementos distinguidos: minimales, maximales, cotas superiores e inferiores y máximos y mínimos. Ya hemos dado la definición de algunos de ellos (minimal y maximal) veremos las de los otros.

Se dice que un elemento u de un conjunto parcialmente ordenado (X, \preceq) es cota superior de un subconjunto M \subset X si para todo m de M es m \preceq u. En el caso de que l \in X verifique l \preceq m, para todo m \in M, se dice que l es una cota inferior de M. La existencia de cotas no está garantizada sin más. Si un conjunto tiene cotas superiores e inferiores se dice que está acotado superior e inferiormente o simplemente que está acotado.  Si una cota superior pertenece al conjunto que acota se dice entonces que es un máximo y si una cota inferior pertenece al conjunto que acota se dice entonces que es un mínimo.

Lema de Zorn.
Sea X un subconjunto no vacío parcialmente ordenado. Si toda parte de X totalmente ordenada tiene una cota superior en X, entonces X posee al menos un maximal.

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