Curso EVT. Lectura 7. Las nociones de base y dimensión (2)

En la lectura 5 hemos dado la noción de base de Hamel para un espacio vectorial. En el caso de que el espacio vectorial sea trivial, nuestros convenios conducen de forma natural a considerar que el conjunto vacío es la única base posible para dicho espacio. En efecto, hemos supuesto que el vacío es linealmente independendiente  y que su envoltura lineal es el conjunto \{0 \} y cualquier otro conjunto linealmente independiente y no vacío no podría contener al cero por lo que contendría a un elemento no nulo y su envoltura lineal sería diferente del espacio trivial. Pero si E es un espacio vectorial no trivial no hemos garantizado que tenga base. Eso se consigue mediante la aplicación del lema de Zorn y una serie de resultados previos.

Teorema 1: Sea E un espacio vectorial y supongamos que A es un subconjunto linealmente independiente y no vacío de E. Entonces existe al menos una base de Hamel B de E que incluye a A.

Prueba: Formamos la familia \mathcal{S} de todos los subconjuntos de E que son linealmente independientes y contienen a A. Dicha familia es no vacía pues A \in \mathcal{S}. Establecemos un orden parcial en \mathcal{S} mediante la inclusión. Si \mathcal{H} es una subfamilia de \mathcal{S} que está totalmente ordenada, veremos que el conjunto

M= \cup_{H \in \mathcal{H}} H

es una cota superior de \mathcal{H} que se halla en \mathcal{S}.  En efecto, sea (z_i)_{i \in I} una familia finita de elementos de M. Como M es la unión de los elementos de una familia totalmente ordenada, habrá un H' de dicha familia que contendrá a todos los z_i de dicha familia finita de vectores y, en consecuencia, si planteamos \sum_{i \in I} \lambda_i z_i = 0, sólo obtendremos la solución trivial pues H' es linealmente independiente por definición. En consecuencia, M es también linealmente independiente. Además como A \subset H para todo H \in \mathcal{H}, se sigue que A \subset M y como queríamos probar es M \in \mathcal{S}. Llegados a este punto podemos aplicar el lema de Zorn para afirmar que existe un elemento maximal en el conjunto \mathcal{S}. Esto es, que existe un subconjunto B de E que incluye a A, es linealmente independiente y maximal con estas propiedades. Por ello, B es una base (ver lectura 5).

Ahora podemos dar el resultado central de esta lectura:

Teorema 2: Todo espacio vectorial tiene una base.

Prueba: Si E es un espacio vectorial trivial entonces su única base, como hemos visto, es el conjunto vacío. Si E es no trivial, existe al menos un x \in E tal que x \neq 0. En consecuencia, el conjunto A=\{x\} es linealmente independiente y aplicando el teorema 1, hallaremos una base de Hamel B de E con A \subset B.

 

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