Ejercicios resueltos (Carothers) (4 bis)

Existe una solución más sencilla al ejercicio 7 de la entrada anterior. Se basa en el hecho de que el cuerpo de los números reales es arquimediano. Es decir, dados dos números reales x,y, positivos, existe un entero positivo n tal que y < nx. Partimos también del hecho de que entre dos reales a <b, existe al menos un racional r (cuestión que puede probarse también utilizando el mismo principio arquimediano). En definitiva, como a <r <b es b-r >0 y como \sqrt{2} >0, hallaremos un entero positivo n, tal que

\sqrt{2} < n (b-r),

de donde

0< \frac{\sqrt{2}}{n}<b-r.

Sumando r a los miembros de la desigualdad, obtenemos

a<r < r+\frac{\sqrt{2}}{n}<b.

Esto significa que x = r+\frac{\sqrt{2}}{n} es el irracional buscado.

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