MATEMATICAS.NET

Ejercicios resueltos (Carothers) (4)

Anuncios

Solución:

7. Consideremos dos números reales con . Sabemos que existe al menos un racional con . A su vez, entre y existe otro racional . El valor

es un número irracional y verifica:

,

,

lo que significa que se halla entre y y, en consecuencia, entre y . (Podéis ver algunas notas aclaratorias aquí y aquí)

8. Sabemos que dados existe al menos un racional con . Análogamente, como podemos encontrar otro racional con . Este proceso puede prolongarse indefinidamente por lo que existen una infinidad de racionales diferentes entre y . El mismo razonamiento es válido para los irracionales.

9. Sea un subconjunto no vacío de enteros y supongamos que está acotado superiormente por un entero . Aplicando el axioma del supremo concluimos que existe una cota superior mínima . Si es entero no tenemos nada que probar, pero si no fuera entero entonces llamando a su parte entera , tenemos que

. (1)

El valor sería positivo y hallaríamos un (un entero de ) para el que

,

.

Es decir,

.

Pero esto es absurdo pues la parte entera de se define como el mayor entero que no sobrepasa a . Por tanto, es entero.

Para probar que no todos los conjuntos de números racionales acotados superiormente por un racional tienen una cota superior mínima racional consideramos el conjunto

.

Dicho conjunto es no vacío (el cero, por ejemplo, pertenece a ) y está acotado superiormente por 2.  Veremos que el supremo de dicho conjunto es un valor irracional. Sea un entero positivo y sea el supremo de . Hallaremos un racional , de forma que

.

Es decir,

.

En otro orden de cosas, si fuera racional, entonces también sería racional y si además cumpliera , entonces pertenecería a y sería mayor que el supremo. En el caso de que fuera irracional y cumpliera la misma desigualdad también llegaríamos a una contradicción pues de la desigualdad

,

podemos deducir que

.

El valor es racional y vemos que nuestros supuestos nos llevan a

.

Esto significa que y además como

,

obtendríamos que es un elemento de mayor que el supremo. Esto es absurdo por lo que para evitar la contradicción ha de ser siempre

.

En definitiva, para todo tenemos que

.

Llevando esta expresión al límite concluimos que por lo que y el supremo de no es racional.

Anuncios