Ejercicios resueltos (Carothers) (4)

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Solución:

7. Consideremos dos números reales a,b con a < b. Sabemos que existe al menos un racional r con a <r <b. A su vez, entre a y r existe otro racional s \neq r. El valor

\frac{1}{2} (r-s) \sqrt{2} +s

es un número irracional y verifica:

(\frac{1}{2} (r-s) \sqrt{2} +s)-s = \frac{1}{2} (r-s) >0,

r-(\frac{1}{2} (r-s) \sqrt{2} +s) = (r-s)-\frac{1}{2} (r-s) \sqrt{2} = \frac{2-\sqrt{2}}{2} (r-s) >0,

lo que significa que se halla entre r y s y, en consecuencia, entre a y b. (Podéis ver algunas notas aclaratorias aquí y aquí)

8. Sabemos que dados a <b existe al menos un racional r con a <r<b. Análogamente, como a<r podemos encontrar otro racional s con a<s<r. Este proceso puede prolongarse indefinidamente por lo que existen una infinidad de racionales diferentes entre a y b. El mismo razonamiento es válido para los irracionales.

9. Sea A un subconjunto no vacío de enteros y supongamos que está acotado superiormente por un entero K. Aplicando el axioma del supremo concluimos que existe una cota superior mínima s \in \mathbb{R}. Si s es entero no tenemos nada que probar, pero si s no fuera entero entonces llamando [s] a su parte entera , tenemos que

[s] < s < [s] +1. (1)

El valor \epsilon = s-[s] sería positivo y hallaríamos un p \in A (un entero de A) para el que

p > s- (s-[s]),

p > [s].

Es decir,

[s] <p <s <[s]+1.

Pero esto es absurdo pues la parte entera de s se define como el mayor entero que no sobrepasa a s. Por tanto, s es entero.

Para probar que no todos los conjuntos de números racionales acotados superiormente por un racional tienen una cota superior mínima racional consideramos el conjunto

M = \{ r \in \mathbb{Q} : r^2 < 2 \}.

Dicho conjunto es no vacío (el cero, por ejemplo, pertenece a M) y está acotado superiormente por 2.  Veremos que el supremo de dicho conjunto es un valor irracional. Sea n un entero positivo y sea s el supremo de M. Hallaremos un racional r \in M, de forma que

r > s- \frac{1}{n}.

Es decir,

2>r^2 >(s- \frac{1}{n})^2.

En otro orden de cosas, si s fuera racional, entonces (s+\frac{1}{n}) también sería racional y si además cumpliera (s+\frac{1}{n})^2 <2, entonces pertenecería a M y sería mayor que el supremo. En el caso de que fuera irracional y cumpliera la misma desigualdad también llegaríamos a una contradicción pues de la desigualdad

[(n+1)s] \leq (n+1) s < [(n+1)s]+1,

podemos deducir que

r = \frac{[(n+1)s]}{n+1} + \frac{1}{n+1} < \frac{(n+1)s}{n+1}+\frac{1}{n} =s+\frac{1}{n}.

El valor r es racional y vemos que nuestros supuestos nos llevan a

r^2 < (s+\frac{1}{n})^2 < 2.

Esto significa que r \in M y además como

s= \frac{(n+1)s}{n+1} < \frac{[(n+1)s]+1}{n+1} =r,

obtendríamos que r es un elemento de M mayor que el supremo. Esto es absurdo por lo que para evitar la contradicción ha de ser siempre

(s+\frac{1}{n}) ^2\geq 2.

En definitiva, para todo n tenemos que

(s-\frac{1}{n})^2 < 2 \leq (s+\frac{1}{n})^2.

Llevando esta expresión al límite concluimos que s^2 =2 por lo que s = \sqrt{2} y el supremo de M no es racional.

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