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Ejercicios de Carothers (2)

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Solución:

2. (a). Como está acotado y es no vacío esto significa que existen , números reales tales que para todo . Por tanto, el axioma del supremo nos garantiza la existencia de una cota superior mínima y una cota inferior máxima que notaremos como e , respectivamente y que, por definición cumplen

, para todo . (1)

Ahora bien, existen al menos dos elementos en . Sean estos con . El orden total implica que o . En el primer caso, vemos por (1) que

. (2)

Si ,  la desigualdad es análoga y en todo caso permite concluir que

.

(b).  Sea con . Si , entonces por lo que

. (3)

Esto significa que es una cota superior de y está acotado superiormente por lo que existe y será . Del mismo modo, si , entonces y concluimos que

. (4)

Es decir, está acotado inferiormente. Como en el caso anterior podemos garantizar la existencia de una cota superior máxima (ínfimo) para , que verifica . Teniendo en cuenta estos resultados concluimos que

.

(c) Sea ahora el conjunto de todas las cotas superiores de . Como está acotado superiormente podemos garantizar que es no vacío pues contiene al menos un elemento. Además, por definición de supremo, existe un valor , que es comparable con todos los elementos de y verifica . Esto significa que es el mínimo de . Ahora bien, si existe mínimo en un conjunto este mínimo es igual al ínfimo de dicho conjunto pues, evidentemente, resultará ser una cota inferior máxima. En símbolos.

.

3.  Sea un subconjunto no vacío de y supongamos que está acotado superiormente. Sea .  Entonces, (i) es una cota superior de ya que por definición el supremo es la menor de las cotas superiores de dicho conjunto. (ii) Supongamos que existe tal que para todo es . Entonces como , concluiríamos que para todo ,  y no sería la cota superior mínima. Para evitar esta contradicción esto no es posible y para todo podremos hallar al menos un de forma que .

Supongamos que es una cota superior de que cumple la condición anterior: para todo podremos hallar al menos un de forma que . Probaremos que . En efecto, si es una cota superior de , entonces para todo es , lo que combinado con la desigualdad anterior nos dice que para todo es

. (5)

Por tanto, y concluimos que es comparable con todas las cotas superiores de y resulta menor que todas ellos. Es decir, .  La prueba para el caso del ínfimo es similar y se deja a cargo del lector.

4. Sea un subconjunto no vacío y acotado superiormente de la recta real. Sea la menor de sus cotas superiores. Consideremos para cada entero positivo el valor . Entonces, existe para cada un elemento tal que

. (6)

Esto es consecuencia de la definición alternativa de supremo que hemos dado en el ejercicio 3. Ahora restamos a ambos miembros de (6), le “damos la vuelta” y tenemos

. (7)

Pero esto significa que

. (8)

Es decir, .

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