Ejercicios de Carothers (2)

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Solución:

2. (a). Como A está acotado y es no vacío esto significa que existen L, S, números reales tales que L \leq x \leq S para todo x \in A. Por tanto, el axioma del supremo nos garantiza la existencia de una cota superior mínima y una cota inferior máxima que notaremos como \sup A e \inf A, respectivamente y que, por definición cumplen

-\infty <L \leq \inf A \leq x \leq \sup A \leq S < +\infty, para todo x \in A. (1)

Ahora bien, existen al menos dos elementos en A. Sean estos x,y con x \neq y. El orden total implica que x <y o y<x. En el primer caso, vemos por (1) que

-\infty < \inf A \leq x <y \leq \sup A < +\infty. (2)

Si y<x,  la desigualdad es análoga y en todo caso permite concluir que

-\infty < \inf A < \sup A < +\infty.

(b).  Sea B \subset A con B \neq \emptyset. Si x \in B, entonces x \in A por lo que

x \leq \sup A. (3)

Esto significa que \sup A es una cota superior de B y B está acotado superiormente por lo que existe \sup B y será \sup B \leq \sup A. Del mismo modo, si x \in B, entonces x \in A y concluimos que

\inf A \leq x. (4)

Es decir, B está acotado inferiormente. Como en el caso anterior podemos garantizar la existencia de una cota superior máxima (ínfimo) para B, que verifica \inf A \leq \inf B. Teniendo en cuenta estos resultados concluimos que

\inf A \leq \inf B \leq \sup B \leq \sup A.

(c) Sea ahora B el conjunto de todas las cotas superiores de A. Como A está acotado superiormente podemos garantizar que B es no vacío pues contiene al menos un elemento. Además, por definición de supremo, existe un valor s \in B, que es comparable con todos los elementos x de B y verifica s \leq x. Esto significa que s es el mínimo de B. Ahora bien, si existe mínimo en un conjunto este mínimo es igual al ínfimo de dicho conjunto pues, evidentemente, resultará ser una cota inferior máxima. En símbolos.

\sup A = \min B = \inf B.

3.  Sea A un subconjunto no vacío de \mathbb{R} y supongamos que está acotado superiormente. Sea s = \sup A.  Entonces, (i) s es una cota superior de A ya que por definición el supremo es la menor de las cotas superiores de dicho conjunto. (ii) Supongamos que existe \epsilon >0 tal que para todo a \in A es a \leq s-\epsilon. Entonces como s- \epsilon < s, concluiríamos que a \leq s-\epsilon < s para todo a \in A,  y s no sería la cota superior mínima. Para evitar esta contradicción esto no es posible y para todo \epsilon >0 podremos hallar al menos un a \in A de forma que a > s -\epsilon.

Supongamos que s es una cota superior de A que cumple la condición anterior: para todo \epsilon >0 podremos hallar al menos un a \in A de forma que a > s -\epsilon. Probaremos que s = \sup A. En efecto, si x es una cota superior de A, entonces para todo a \in A es a \leq x, lo que combinado con la desigualdad anterior nos dice que para todo \epsilon >0 es

x > s- \epsilon. (5)

Por tanto, x \geq s y concluimos que s es comparable con todas las cotas superiores de A y resulta menor que todas ellos. Es decir, s = \sup A.  La prueba para el caso del ínfimo es similar y se deja a cargo del lector.

4. Sea A un subconjunto no vacío y acotado superiormente de la recta real. Sea \sup A la menor de sus cotas superiores. Consideremos para cada entero positivo n el valor \epsilon = \frac{1}{n} >0. Entonces, existe para cada n un elemento x_n \in A tal que

\sup A >x_n > \sup A - \frac{1}{n}. (6)

Esto es consecuencia de la definición alternativa de supremo que hemos dado en el ejercicio 3. Ahora restamos \sup A a ambos miembros de (6), le “damos la vuelta” y tenemos

- \frac{1}{n} < x_n - \sup A < 0 < \frac{1}{n}. (7)

Pero esto significa que

| x_n - \sup A| < \frac{1}{n}. (8)

Es decir, \lim x_n = \sup A.

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