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Curso EVT. Lectura 6. Notas aclaratorias (1)

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En la lectura anterior hemos efectuado una serie de demostraciones de gran importancia y hemos utilizando definiciones y hechos que pueden parecer oscuros al lector. Intentaremos aclararlos. En primer lugar, consideremos una familia no vacía de vectores de un espacio . Sea un vector combinación lineal de una subfamilia finita y no vacía de :

.

Definimos el soporte de como el conjunto.

. (1)

Es decir, se trata del conjunto de índices de que tienen asociados escalares no nulos. Evidentemente, si el soporte es vacío todos los escalares serán nulos y . En el caso de que el soporte sea no vacío, también es evidente que

, (2)

pues los escalares nulos no aportan nada a la combinación lineal. El lector también debe advertir que aunque el soporte sea no vacío es posible que el resultado de la combinación lineal sea cero. Lo que es claro es que si el vector es no nulo entonces el soporte es no vacío y podemos utilizar la igualdad (2) para expresarlo.

Consideremos ahora un conjunto parcial o totalmente ordenado. Si es la relación de orden presente en dicho conjunto, decimos que dos elementos son comparables si o . Un elemento es un minimal (puede haber más de uno) si implica . Es decir, si no es comparable con ningún elemento anterior (o menor, según se prefiera) que él. Análogamente, un elemento es un maximal (también puede haber varios) si implica .

En el conjunto de las partes (o subconjuntos) de un conjunto dado podemos dar una relación de orden parcial de forma inmediata. Bastará considerar la inclusión como tal relación. Es fácil comprobar que si son subconjuntos de :

(a) .

(b) y , implican .

(c) y , implican .

Un subconjunto es minimal respecto de una propiedad si es minimal respecto a esta propiedad en la relación de orden dada por la inclusión. Es decir, si dado con , se tiene que no cumple esa propiedad . Análogamente, será maximal respecto a esta propiedad si dado con , el conjunto no cumple .

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