Curso EVT. Lectura 6. Notas aclaratorias (1)

En la lectura anterior hemos efectuado una serie de demostraciones de gran importancia y hemos utilizando definiciones y hechos que pueden parecer oscuros al lector. Intentaremos aclararlos. En primer lugar, consideremos una familia no vacía A= (x_i)_{i \in I} de vectores de un espacio E. Sea un vector x combinación lineal de una subfamilia finita y no vacía (x_j)_{j \in J} de A:

x = \sum_{j \in J} \lambda_j x_j.

Definimos el soporte de x como el conjunto.

S = \{ j \in J : \lambda_j \neq 0 \}. (1)

Es decir, se trata del conjunto de índices de J que tienen asociados escalares no nulos. Evidentemente, si el soporte es vacío todos los escalares serán nulos y x=0. En el caso de que el soporte sea no vacío, también es evidente que

x = \sum_{j \in J} \lambda_j x_j = \sum_{j \in S} \lambda_j x_j, (2)

pues los escalares nulos no aportan nada a la combinación lineal. El lector también debe advertir que aunque el soporte sea no vacío es posible que el resultado de la combinación lineal sea cero. Lo que es claro es que si el vector x es no nulo entonces el soporte es no vacío y podemos utilizar la igualdad (2) para expresarlo.

Consideremos ahora un conjunto X parcial o totalmente ordenado. Si \prec es la relación de orden presente en dicho conjunto, decimos que dos elementos x,y \in X son comparables si x \prec y o y \prec x. Un elemento m \in X es un minimal (puede haber más de uno) si x \prec m implica m=x. Es decir, si m no es comparable con ningún elemento anterior (o menor, según se prefiera) que él. Análogamente, un elemento M \in X es un maximal (también puede haber varios) si M \prec x implica x=M.

En el conjunto de las partes (o subconjuntos) de un conjunto dado X podemos dar una relación de orden parcial de forma inmediata. Bastará considerar la inclusión como tal relación. Es fácil comprobar que si A,B,C son subconjuntos de X:

(a) A \subset A.

(b) A \subset B y B \subset A, implican A = B.

(c) A \subset B y B \subset C, implican A \subset C.

Un subconjunto T es minimal respecto de una propiedad P si es minimal respecto a esta propiedad en la relación de orden dada por la inclusión. Es decir, si dado S con S \subset T, se tiene que S no cumple esa propiedad P. Análogamente, será maximal respecto a esta propiedad si dado R con T \subset R, el conjunto R no cumple P.

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