Ejercicios de Demidovich (5)

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a) Esta función está definida en toda la recta real y su recorrido también es toda la recta real. Además es inyectiva por lo que tiene inversa y resulta simplemente de intercambiar las variables y despejar:

y = 2x+3,

x = 2y+3,

y = \frac{1}{2} (x-3).

b) Esta es una función cuadrática y su dominio es todo \mathbb{R}. Sin embargo, su recorrido es el intervalo [-1, +\infty[. Además no es inyectiva. Por tanto, no tiene inversa general. Ahora bien, podemos considerar una partición de su dominio de manera que en cada uno de los conjuntos de dicha partición la función sea inyectiva.

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El gráfico anterior nos muestra que los intervalos ] -\infty, 0], ]0, +\infty[ son los mejores candidatos para la partición del dominio. Así pues, la restricción de y=x^2-1 al intervalo ]-\infty, 0] es inyectiva y podemos plantear el mismo proceso de cambio de letras y posterior simplificación:

y= x^2-1,

x= y^2-1,

y= \sqrt{x+1}.

Pero, ¿qué valor tomamos de la raíz? ¿Positivo? ¿Negativo? Es claro que para obtener los valores del intervalo negativo la raíz ha de ser negativa. Por tanto,

y= -\sqrt{x+1}.

Análogamente, para el intervalo ]0, +\infty[, la inversa es y=+ \sqrt{x+1}.

c) Esta función es inyectiva en todo su dominio (que es la recta real). Por tanto,

y= \sqrt[3]{1-x^3},

x = \sqrt[3]{1-y^3},

x^3 = 1-y^3,

y = \sqrt[3]{1-x^3}.

Esta función es su propia inversa. Aquí puedes ver su gráfica.

d) La función logaritmo decimal tiene por dominio el conjunto de los números estrictamente positivos y su recorrido es toda la recta real. Por tanto, ha de ser \frac{x}{2} >0. Esto es x >0. Además en su dominio es inyectiva y tendrá inversa. Seguimos el mismo proceso que en apartados anteriores:

y= \log (\frac{x}{2}),

x = \log (\frac{y}{2}),

10^x = \frac{y}{2},

y= 2 \cdot 10^x.

e) La función arco tangente es la inversa de la función tangente en el intervalo ] -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[. En particular, su dominio es toda la recta real y su recorrido el intervalo anterior. Obviamente, la inversa de la función arco tangente será la función tangente.

y= \arctan 3x,

x = \arctan 3y,

\tan x = 3y,

y = \frac{1}{3} \tan x.

Su dominio, como hemos precisado anteriormente, es el intervalo ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[.

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