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Curso EVT. Lectura 5. Las nociones de base y dimensión (1)

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Uno de los conceptos más importantes del álgebra lineal es el de dimensión, el cual va ligado directamente con la idea de base. Para fundamentar estas nociones vamos a seguir dando resultados lo más generales posibles que nos llevarán de manera natural a estas ideas centrales.

(1) Consideremos un -espacio vectorial y sea un subconjunto de con al menos dos elementos. Son equivalentes:

a) El conjunto es linealmente independiente.

b) Cada vector , no nulo, de la envoltura lineal de se expresa de forma única como combinación lineal, con coeficientes no nulos, de elementos de .

c) Ningún depende linealmente de .

La demostración de (1) la podéis ver aquí. Ahora definimos el concepto de base (base de Hamel).

Definición: Un subconjunto de un -espacio vectorial es una base de Hamel o base algebrica de si es linealmente independiente y su envoltura lineal coincide con .

Utilizaremos los resultados de (1) para obtener condiciones equivalentes a la definición de base. Así tenemos que

(2) Si es un espacio vectorial no trivial sobre un cuerpo , son equivalentes:

(i) El subconjunto de es una base de Hamel de .

(ii) Todo vector , no nulo, se expresa de forma única como combinación lineal de elementos de con coeficientes no nulos.

(iii) El subconjunto es minimal respecto a la propiedad de generar .

(iv) El subconjunto es maximal respecto a la propiedad de ser linealmente independiente.

Demostración. (i) implica (ii). Si es una base entonces, por definición, es un conjunto linealmente independiente y su envoltura lineal es . Si , entonces (recordemos que el cero es el único vector de la envoltura lineal del vacío). Pero esto no es posible pues hemos supuesto que el espacio es no trivial. De esta manera, es no vacío. Si constara de un sólo elemento éste no sería el cero (pues es linealmente independiente). Así pues, existe con y . Sea un elemento no nulo de y supongamos que existen escalares , tales que . Entonces, y de aquí . Esto prueba que la expresión de cada vector no nulo de como combinación de elementos de es única. Si tiene más de dos elementos,  como es linealmente independiente, aplicamos (1) y concluimos el mismo hecho.

(ii) implica (iii).  Sean un subconjunto de tal que y un subconjunto de tal que . Si existe , no nulo, tal que , trivialmente es y también , donde es una subfamilia finita de elementos de y para todo . Estas dos representaciones, utilizando elementos de , son diferentes por lo que obtenemos una contradicción. Para evitarla, nuestra hipótesis de que existe un elemento de que no está en ha de ser falsa y . Esto prueba que es minimal con respecto a la propiedad de generar .

(iii) implica (iv). Supongamos que el conjunto cumple y que es minimal respecto a esta propiedad. Si constara de un sólo elemento y fuera linealmente dependiente, entonces dicho elemento sería el cero y no podría generar un espacio no trivial. Por tanto, esta posibilidad se descarta. Es decir, si fuera linealmente dependiente constaría de dos elementos o más y entonces, en virtud de (1) hallaríamos un tal que depende linealmente de . Ahora bien, esto significaría que y dejaría de ser minimal respecto a la propiedad de generar . En consecuencia, es linealmente independiente. Una vez probado este punto veremos que es maximal respecto la propiedad de independencia lineal.
En efecto, sea un subconjunto linealmente independiente de tal que y supongamos que existe tal que . Como se tiene que

,

donde es finito y , para todo . Por tanto, se da la igualdad

,

la cual es una combinación lineal no trivial de una familia finita de elementos de . En consecuencia, ha de ser linealmente dependiente y obtenemos una contradicción lo que nos lleva a que nuestra hipótesis de que existe tal que es falsa y . Esto prueba que es maximal con respecto a la independencia lineal

(iv) implica (i). Si fuera , hallaríamos tal que no depende linealmente de . Por tanto, por (1), sería un subconjunto linealmente independiente de que incluye a y es distinto de . Esto contradice el carácter maximal como independiente de por lo que nuestra suposición es falsa y es .

Para el lector interesado, daré una serie de notas aclaratorias sobre algunos puntos de estos desarrollos.

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