Curso EVT. Lectura 5. Las nociones de base y dimensión (1)

Uno de los conceptos más importantes del álgebra lineal es el de dimensión, el cual va ligado directamente con la idea de base. Para fundamentar estas nociones vamos a seguir dando resultados lo más generales posibles que nos llevarán de manera natural a estas ideas centrales.

(1) Consideremos un K-espacio vectorial E y sea A un subconjunto de E con al menos dos elementos. Son equivalentes:

a) El conjunto A es linealmente independiente.

b) Cada vector x, no nulo, de la envoltura lineal de A se expresa de forma única como combinación lineal, con coeficientes no nulos, de elementos de A.

c) Ningún x \in A depende linealmente de A- \{x \}.

La demostración de (1) la podéis ver aquí. Ahora definimos el concepto de base (base de Hamel).

Definición: Un subconjunto B de un K-espacio vectorial E es una base de Hamel o base algebrica de E si es linealmente independiente y su envoltura lineal coincide con E.

Utilizaremos los resultados de (1) para obtener condiciones equivalentes a la definición de base. Así tenemos que

(2) Si E es un espacio vectorial no trivial sobre un cuerpo K, son equivalentes:

(i) El subconjunto B de E es una base de Hamel de E.

(ii) Todo vector x \in E, no nulo, se expresa de forma única como combinación lineal de elementos de B con coeficientes no nulos.

(iii) El subconjunto B es minimal respecto a la propiedad de generar E.

(iv) El subconjunto B es maximal respecto a la propiedad de ser linealmente independiente.

Demostración. (i) implica (ii). Si B es una base entonces, por definición, es un conjunto linealmente independiente y su envoltura lineal es E. Si B = \emptyset, entonces E = L(B) = \{0 \} (recordemos que el cero es el único vector de la envoltura lineal del vacío). Pero esto no es posible pues hemos supuesto que el espacio E es no trivial. De esta manera, B es no vacío. Si constara de un sólo elemento éste no sería el cero (pues B es linealmente independiente). Así pues, existe x \in E con x \neq 0 y B = \{x \}. Sea y un elemento no nulo de E y supongamos que existen escalares \lambda, \mu, tales que y= \lambda x = \mu x. Entonces, (\lambda- \mu)x = 0 y de aquí \lambda = \mu. Esto prueba que la expresión de cada vector no nulo de E como combinación de elementos de B es única. Si B tiene más de dos elementos,  como B es linealmente independiente, aplicamos (1) y concluimos el mismo hecho.

(ii) implica (iii).  Sean B un subconjunto de E tal que L(B)=E y C un subconjunto de B tal que L(C) =E. Si existe x \in B, no nulo, tal que x \notin C, trivialmente es x = 1x y también x = \sum_{j \in J} \lambda_{j} x_{j}, donde (x_{j})_{j \in J} es una subfamilia finita de elementos de C y \lambda_{j} \neq 0 para todo j \in J. Estas dos representaciones, utilizando elementos de B, son diferentes por lo que obtenemos una contradicción. Para evitarla, nuestra hipótesis de que existe un elemento de B que no está en C ha de ser falsa y B=C. Esto prueba que B es minimal con respecto a la propiedad de generar E.

(iii) implica (iv). Supongamos que el conjunto B cumple L(B)=E y que B es minimal respecto a esta propiedad. Si B constara de un sólo elemento y fuera linealmente dependiente, entonces dicho elemento sería el cero y B no podría generar un espacio no trivial. Por tanto, esta posibilidad se descarta. Es decir, si B fuera linealmente dependiente constaría de dos elementos o más y entonces, en virtud de (1) hallaríamos un x \in B tal que x depende linealmente de B- \{x \}. Ahora bien, esto significaría que L(B)= L(B-\{x\}) y B dejaría de ser minimal respecto a la propiedad de generar E. En consecuencia, B es linealmente independiente. Una vez probado este punto veremos que es maximal respecto la propiedad de independencia lineal.
En efecto, sea C un subconjunto linealmente independiente de E tal que B \subset C y supongamos que existe x \in C tal que x \notin B. Como L(B)=E se tiene que

x = \sum_{i \in J} \lambda_j x_j,

donde J es finito y x_{j} \in B, \lambda_{j} \in K, para todo j \in J. Por tanto, se da la igualdad

x-\sum_{i \in J} \lambda_j x_j = 0,

la cual es una combinación lineal no trivial de una familia finita de elementos de C. En consecuencia, C ha de ser linealmente dependiente y obtenemos una contradicción lo que nos lleva a que nuestra hipótesis de que existe x \in C tal que x \notin B es falsa y B=C. Esto prueba que B es maximal con respecto a la independencia lineal

(iv) implica (i). Si fuera L(B) \neq E, hallaríamos x \in E tal que x no depende linealmente de B. Por tanto, por (1), C= B \cup \{x \} sería un subconjunto linealmente independiente de E que incluye a B y es distinto de B. Esto contradice el carácter maximal como independiente de B por lo que nuestra suposición es falsa y es L(B)=E.

Para el lector interesado, daré una serie de notas aclaratorias sobre algunos puntos de estos desarrollos.

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