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Ejercicios de Demidovich (4)

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a) Consideremos que es el período buscado, entonces

,

.

Haciendo tenemos que

.

Ahora bien, sabemos que el período de la función seno es , luego

, .

Esto significa que la función es periódica y dicho valor es su período. La siguiente gráfica es la correspondiente a dicha función.

b) Si queremos que

.

Desarrollamos el segundo miembro de la igualdad

.

Esto nos indica que debemos encontrar el número que verifica

ya que ese es el período común del seno y coseno. Por tanto, y la función es periódica con dicho valor como período.

c) La función es inyectiva y está definida para valores positivos. Por tanto,

,

si y sólo si y ambos valores son positivos. Por otro lado, el período de la función tangente es , por lo que . Esta función es períodica y su período es . Podemos ir un poco más allá e indicar que el dominio de tal función es la unión numerable de los intervalos de la forma

, .

d) Recordemos que

.

De esta manera,

.

Lo que nos lleva a plantear

2.

Ahora bien, como el período de es , resulta que y , lo que prueba que la función es períodica con período . La siguiente es parte de su gráfica

e) Si existe con

,

entonces

,

independientemente de . Pero esto no es posible ya que si , resulta

, y de aquí .

Mientras que si el valor de no es el mismo (el lector puede resolver la ecuación irracional correspondiente y comprobarlo). Así pues, la función no es períodica.

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