Ejercicios de Demidovich (4)

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a) Consideremos que T es el período buscado, entonces

10 \sin 3(x+T) = 10 \sin 3x,

\sin (3x+3T) = \sin 3x.

Haciendo y=3x tenemos que

\sin (y+3T) = \sin y.

Ahora bien, sabemos que el período de la función seno es 2 \pi, luego

3T = 2 \pi, T = \frac{2 \pi}{3}.

Esto significa que la función es periódica y dicho valor es su período. La siguiente gráfica es la correspondiente a dicha función.

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b) Si queremos que

a \sin \lambda x+ b \cos \lambda x = a \sin \lambda (x+T)+ b \cos \lambda (x+T).

Desarrollamos el segundo miembro de la igualdad

a \sin (\lambda x + \lambda T) + b \cos (\lambda x+ \lambda T).

Esto nos indica que debemos encontrar el número T que verifica

\lambda T = 2 \pi

ya que ese es el período común del seno y coseno. Por tanto, \lambda T = \frac{ 2 \pi}{ \lambda} y la función es periódica con dicho valor como período.

c) La función y = \sqrt{x} es inyectiva y está definida para valores positivos. Por tanto,

\sqrt{\tan x} = \sqrt{ \tan (x+T)},

si y sólo si \tan x = \tan (x+T) y ambos valores son positivos. Por otro lado, el período de la función tangente es \pi, por lo que T = \pi. Esta función es períodica y su período es \pi. Podemos ir un poco más allá e indicar que el dominio de tal función es la unión numerable de los intervalos de la forma

] -\frac{\pi}{2}+ k \pi, \frac{\pi}{2}+k \pi[, k = 0,1,2, \ldots.

d) Recordemos que

1- \cos 2x = 2 \sin^{2} x.

De esta manera,

\sin^{2} x = \frac{1}{2} (1- \cos 2x).

Lo que nos lleva a plantear

\frac{1}{2} (1- \cos 2x) = \frac{1}{1} (1- \cos 2(x+T))2.

Ahora bien, como el período de \cos x es 2 \pi, resulta que 2T = 2 \pi y T = \pi, lo que prueba que la función es períodica con período \pi. La siguiente es parte de su gráfica

periodica2

e) Si existe T>0 con

\sin(\sqrt{x}) = \sin(\sqrt{x+T}),

entonces

\sqrt{x+T}-\sqrt{x} = 2 \pi,

independientemente de x. Pero esto no es posible ya que si x =0, resulta

\sqrt{T} = 2 \pi, y de aquí T = 4 \pi^{2}.

Mientras que si x = \pi el valor de T no es el mismo (el lector puede resolver la ecuación irracional correspondiente y comprobarlo). Así pues, la función no es períodica.

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