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Curso EVT. Lectura 4. Más sobre dependencia e independencia lineales.

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Consideremos un espacio vectorial sobre un cuerpo . Probaremos que

a) Toda familia de vectores de que incluye al cero es linealmente dependiente.

b) Si es un elemento no nulo de , entonces el conjunto es linealmente independiente.

c) Si y son subconjuntos de con , entonces si es linealmente dependiente también lo es y si es linealmente independiente, también lo es .

d) Sea un elemento de y sea un subconjunto linealmente independiente de . Si no depende linealmente de , entonces el conjunto es linealmente independiente.

Demostración.

a) Sea y supongamos que para algún es , entonces tomando la subfamilia podemos ver que la combinación lineal no es trivial y produce el vector cero. Así pues es linealmente dependiente.

b) Supongamos que el conjunto , con es linealmente dependiente. Entonces, la única familia finita que podemos formar es (aparte de la vacía que por convenio es linealmente independiente). La combinación , sólo será posible si (ver propiedades del espacio vectorial en lectura 2). Esto prueba que es linealmente independiente.

c) Este hecho se deduce de forma inmediata de la definición de dependencia e independencia lineal.

d) Supongamos que es linealmente independiente. Si fuera vacío, tendríamos que su envoltura lineal es el vector cero por lo que si no depende linealmente de , resulta no nulo y por b), el conjunto es linealmente independiente. Supongamos ahora que es no vacío. Si fuera linealmente dependiente hallaríamos una familia finita de elementos de que dan lugar al cero de forma no trivial. Es claro que si todos los elementos de dicha familia fueran de , entonces sería linealmente dependiente en contra de lo supuesto. Por ello, ha de existir al menos un , tal que . Además, el escalar correspondiente en esta combinación lineal no trivial no puede ser nulo pues entonces la contribución de desaparece y volvemos a tener una combinación lineal nula no trivial de elementos de . En definitiva,

, con y .

Esto permite expresar en la forma

.

Así pues depende linealmente de . Para evitar esta contradicción, ha de ser linealmente independiente.

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