Curso EVT. Lectura 4. Más sobre dependencia e independencia lineales.

Consideremos un espacio vectorial E sobre un cuerpo K. Probaremos que

a) Toda familia A de vectores de E que incluye al cero es linealmente dependiente.

b) Si x es un elemento no nulo de E, entonces el conjunto \{x\} es linealmente independiente.

c) Si A y B son subconjuntos de E con A \subset B, entonces si A es linealmente dependiente también lo es B y si B es linealmente independiente, también lo es A.

d) Sea x un elemento de E y sea A un subconjunto linealmente independiente de E. Si x no depende linealmente de A, entonces el conjunto B = A \cup \{x\} es linealmente independiente.

Demostración.

a) Sea A= (x_i)_{i \in I} y supongamos que para algún j \in I es x_j = 0, entonces tomando la subfamilia (x_j) = (0) podemos ver que la combinación lineal 1 0 = 0 no es trivial y produce el vector cero. Así pues A es linealmente dependiente.

b) Supongamos que el conjunto A = \{x \}, con x \neq 0 es linealmente dependiente. Entonces, la única familia finita que podemos formar es (x) (aparte de la vacía que por convenio es linealmente independiente). La combinación \lambda x = 0, sólo será posible si \lambda = 0 (ver propiedades del espacio vectorial en lectura 2). Esto prueba que A es linealmente independiente.

c) Este hecho se deduce de forma inmediata de la definición de dependencia e independencia lineal.

d) Supongamos que A es linealmente independiente. Si fuera vacío, tendríamos que su envoltura lineal es el vector cero por lo que si x no depende linealmente de A, resulta no nulo y por b), el conjunto B = A \cup \{x\} = \{x\} es linealmente independiente. Supongamos ahora que A es no vacío. Si B = A \cup \{x\} fuera linealmente dependiente hallaríamos una familia finita (x_i)_{i \in I} de elementos de B que dan lugar al cero de forma no trivial. Es claro que si todos los elementos de dicha familia fueran de A, entonces A sería linealmente dependiente en contra de lo supuesto. Por ello, ha de existir al menos un i_{0} \in I, tal que x = x_{i_{0}}. Además, el escalar correspondiente en esta combinación lineal no trivial \lambda_{i_{0}} no puede ser nulo pues entonces la contribución de x desaparece y volvemos a tener una combinación lineal nula no trivial de elementos de A. En definitiva,

\sum_{i \in I} \lambda_{i} x_{i} = 0, con \lambda_{i_{0}} \neq 0 y x_{i_{0}} = x.

Esto permite expresar x en la forma

x = -\sum_{i \in I- \{i_{0}\}} \lambda_{i_{0}}^{-1} \lambda_{i} x_{i}.

Así pues x depende linealmente de A. Para evitar esta contradicción, B ha de ser linealmente independiente.

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