Ejercicios de Demidovich (3)

Imagen24. Recordemos que una función real de variable real h es par si su dominio D es un conjunto simétrico D = \{ x : -l<x<l \} y h(-x) = h(x) para cada x \in D. En el caso de que h(-x) = -h(x) para cada x \in D, se dice que la función es impar. Sea f una función con dominio simétrico. Entonces podemos comprobar que la función

g(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}

es par. En efecto,

g(-x) = \frac{f(-x)+f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x)+f(x)}{2} = g(x).

Por otro lado, la función

h(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}

es impar, pues

h(-x) = \frac{f(-x)-f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x)-f(x)}{2} = - \frac{f(x) -f(-x)}{2} = -h(x).

Finalmente, es g(x)+h(x)= \frac{f(x)+f(-x)}{2} +\frac{f(x)-f(-x)}{2} = \frac{2f(x)}{2} = f(x).

25. Sea f y g dos funciones pares con dominio común D. Entonces para cada x \in D es

(fg)(-x) = f(-x)g(-x) = f(x) g(x) = (fg)(x).

Lo que prueba que fg es una función par. Del mismo modo, si f y g son impares con dominio común D, para todo x \in D resulta

(fg)(-x) = f(-x) g(-x) = (-f(x))(-g(x)) = f(x) g(x) = (fg)(x) .

Así que el producto fg es par. Del mismo modo se prueba que el producto de una función par y otra impar es una función impar.

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