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Ejercicios de Demidovich (2)

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Seguimos con problemas del texto de Demidovich:

10. Es fácil ver que la función

verifica . En efecto, los dominios de ambas son iguales (toda la recta real) y si , entonces

,

y si , entonces

.

En consecuencia, para todo .

11. a) Debemos exigir que . Por tanto, y el dominio de esta función es el intervalo . El apartado b) es muy diferente. Al ser una raíz cúbica, el radicando puede adoptar cualquier valor real y el dominio es todo .

12. El denominador de esta función no puede anularse, por lo que resolvemos la ecuación y obtenemos las soluciones . El dominio es entonces, el conjunto , o lo que es lo mismo .

13. a) Como en 11, exigimos que . Esta inecuación es de segundo grado y debemos estudiarla recurriendo a la ecuación correspondiente , cuyas soluciones son . La obtención de las soluciones permite factorizar y la inecuación queda como . Es decir, ambos factores han de ser del mismo signo. Esto se puede estudiar cómodamente viendo el signo de cada factor en los intervalos determinados por las raíces: . Si hacemos esto vemos que en los intervalos y el producto de ambos factores es positivo. En consecuencia, el dominio es la unión , pues también admitimos que el producto sea nulo. Una forma equivalente de llegar al mismo resultado es observar la gráfica de , la cual es una parábola que da valores positivos precisamente en los intervalos señalados:

El apartado b) es análogo.

14. Debemos resolver la inecuación . El procedimiento a seguir es el mismo que en 13.

15. Aquí la solución viene de la intersección de los dominios de las funciones e . En definitiva, resolvemos el sistema:

,

.

Esto es fácil, tenemos que la solución de la primera inecuación es y la de la segunda . Por tanto, el dominio buscado es .

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