Ejercicios de Demidovich (2)

Seguimos con problemas del texto de Demidovich:

Imagen

10. Es fácil ver que la función

g(x) = \frac{|x|+x}{2}

verifica g =f. En efecto, los dominios de ambas son iguales (toda la recta real) y si x > 0, entonces

f(x) = x = \frac{x+x}{2} =\frac{|x|+x}{2} = g(x),

y si x \leq 0, entonces

f(x) = 0 = \frac{x-x}{2} = \frac{x+|x|}{2} = g(x).

En consecuencia, f(x) = g(x) para todo x \in \mathbb{R}.

11. a) Debemos exigir que x+1 \geq 0. Por tanto, x \geq -1 y el dominio de esta función es el intervalo [-1 \infty). El apartado b) es muy diferente. Al ser una raíz cúbica, el radicando puede adoptar cualquier valor real y el dominio es todo \mathbb{R}.

12. El denominador de esta función no puede anularse, por lo que resolvemos la ecuación 4-x^2 = 0 y obtenemos las soluciones x = -2,2. El dominio es entonces, el conjunto (-\infty, -2) \cup (-2,2) \cup (2, \infty), o lo que es lo mismo \mathbb{R} - \{-2,2\}.

13. a) Como en 11, exigimos que x^2-2 \geq 0. Esta inecuación es de segundo grado y debemos estudiarla recurriendo a la ecuación correspondiente x^2-2 = 0, cuyas soluciones son x = -\sqrt{2}, \sqrt{2}. La obtención de las soluciones permite factorizar x^2-2 = (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) y la inecuación queda como (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) \geq 0. Es decir, ambos factores han de ser del mismo signo. Esto se puede estudiar cómodamente viendo el signo de cada factor en los intervalos determinados por las raíces: (-\infty, -\sqrt{2}), (-\sqrt{2}, \sqrt{2}), (\sqrt{2}, +\infty). Si hacemos esto vemos que en los intervalos (-\infty, -\sqrt{2}) y (\sqrt{2}, +\infty) el producto de ambos factores es positivo. En consecuencia, el dominio es la unión (-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, +\infty), pues también admitimos que el producto sea nulo. Una forma equivalente de llegar al mismo resultado es observar la gráfica de y=x^2-2, la cual es una parábola que da valores positivos precisamente en los intervalos señalados:

Imagen

El apartado b) es análogo.

14. Debemos resolver la inecuación 2+x-x^2 \geq 0. El procedimiento a seguir es el mismo que en 13.

15. Aquí la solución viene de la intersección de los dominios de las funciones y_1 = \sqrt{-x} e y_2 = \frac{1}{\sqrt{2+x}}. En definitiva, resolvemos el sistema:

-x \geq 0,

2+x >0.

Esto es fácil, tenemos que la solución de la primera inecuación es x \leq 0 y la de la segunda x >-2. Por tanto, el dominio buscado es (-\infty, 0] \cap (-2, \infty) = (-2,0].

Anuncios

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s