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Ejercicios de Demidovich (1)

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Cada vez considero más importante conocer y manejar con soltura y profundidad todos los aspectos teóricos y prácticos relativos a los números reales. De ellos se nutre gran parte de los desarrollos más avanzados. Con este fin he pensado en ir resolviendo problemas de textos relevante. Comenzaré con el texto de Demidovich: “Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático”, Ed. Paraninfo, un clásico que permanece en un lugar importante de mi biblioteca. El primer bloque de ejercicios es el siguiente:

Vamos a dar indicaciones para su resolución. En primer lugar, recordemos que el valor absoluto de un número real , se define mediante

, si ,

, si .

Pero también podemos definirlo como

.

En todo caso, el valor absoluto se define a través del orden usual presente en el conjunto de los números reales. Este orden es, evidentemente, compatible con la estructura de cuerpo.

Para resolver el ejercicio 1, vamos a utilizar la desigualdad triangular

,

y el hecho de que las desigualdades: , con , equivalen a . Pero, ¿cómo probar ambos hechos a partir de la definición de valor absoluto? Lo cierto es que no es muy difícil. Primero demostraremos que , equivale a . En efecto, sea y supongamos que , entonces

,

pero esto significa que y . Multiplicamos la última desigualdad por (-1) y queda como . Es decir,

.

Por tanto , con , equivale a . Recíprocamente, si fuera con , entonces para el caso , tendríamos que

.

Mientras que para el caso, , tendríamos que

.

Ahora bien, como , entonces y .

Una vez tenemos clara esta propiedad, demostraremos la desigualdad triangular. Partimos de las desigualdades triviales:

e .

Como , resulta que

y también .

Sumamos miembro a miembro para obtener

,

lo que significa que

.

Sean números reales. Es fácil ver que , por lo que

. (1)

Por otro lado

,

de donde,

,

. (2)

Análogamente,

,

,

. (3)

Combinando (2) y (3) resulta . Combinando (1) y (3) tenemos resuelto el ejercicio 1.

Para el ejercicio 2, podemos utilizar la definición del valor absoluto y las propiedades del orden total en , estudiando caso a caso. Este proceso es laborioso aunque bastante ilustrativo. Preferimos demostrar primero d) y con esta nueva definición de valor absoluto demostrar el el resto de apartados. Recordemos que con el símbolo estamos indicando la raíz cuadrada positiva cuya existencia en la recta real está garantizada para todo número mayor o igual que cero. Sea , entonces y . En el caso de que , entonces y  , de donde . Esto prueba a). El resto es análogo y se deja a cargo del lector.

Apéndice: Una manera alternativa de demostrar la desigualdad triangular

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