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Curso EVT. Lectura 3. Dependencia e independencia lineal

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En esta lectura vamos a intentar exponer los conceptos de dependencia e independencia lineales. Lo haremos en el contexto más general posible y para ello vamos a emplear la noción de familia.

Sean y conjuntos no vacíos. Una aplicación se denomina familia de elementos de indexada (o indizada) por . Decimos que es el conjunto de índices y para cada escribimos . La familia se nota .

Si tomamos un subconjunto no vacío de , la restricción de a da lugar a una subfamilia de la familia . Para unificar conceptos admitimos también la existencia de la familia vacía, que es única y no tiene elementos. De esta manera, convenimos en que si es vacío la familia obtenida es la familia vacía. Si la aplicación no es inyectiva entonces podemos tener elementos repetidos en la familia. Es decir, hallaremos índices de tales que pero . El rango de la familia es el recorrido de la aplicación y resulta por tanto un subconjunto de . En el caso de que la aplicación sea inyectiva podemos identificar la familia con su rango. Esto nos lleva a plantearnos la situación contraria. En particular, si es un conjunto no vacío, podemos también considerarlo como una familia mediante la aplicación identidad. Es decir, el conjunto de índices coincide con .
En la práctica, se suele tomar un conjunto equipotente a y así la notación queda en la forma usual: . Siguiendo estos convenios, un subconjunto no vacío de un conjunto puede considerarse como una subfamilia no vacía de . Paralelamente, si es vacío consideramos que está representado por la familia vacía. De esta forma, todas las definiciones que se aplican a familias también se aplican a conjuntos y así se entenderá en lo sucesivo.

Definición 2. Combinación lineal finita.
Sea una familia no vacía de vectores de . Una combinación lineal finita de elementos de la familia es todo vector de , obtenido mediante una subfamilia finita no vacía de y una familia de escalares, operados en la forma
.

Los escalares de la combinación lineal se llaman coeficientes de dicha combinación. Por convenio, consideramos que el cero es la única combinación lineal de la familia vacía. Esto se puede simbolizar en la forma

.

Obsérvese también que en esta definición de combinación lineal finita puede aparecer varias veces el mismo vector. Por ejemplo, si la familia no vacía es , tenemos que una combinación lineal es
.
El lector puede deducir fácilmente que esta combinación equivale a
,
por lo que, en la práctica, el hecho de considerar familias en lugar de conjuntos es una cuestión de generalidad y notación.

Definición 3. Envoltura lineal.
Sea una familia no vacía de vectores de . Al conjunto de todas las combinaciones lineales finitas de sus elementos se le denomina envoltura lineal de dicha familia y se notará mediante o bien .
Definición 4. Dependencia lineal de un elemento.
Un vector depende linealmente de la familia si pertenece a su envoltura lineal.
Vamos ahora a la definición central de esta lectura.

Definición 5: Dependencia e independencia lineal de una familia o conjunto,
Sea una familia de vectores no vacía de un espacio vectorial sobre . Decimos que dicha familia es linealmente independiente si para cada subfamilia finita y no vacía se tiene que la combinación lineal

implica que los escalares de verifican para todo . En caso contrario, diremos que la familia es linealmente dependiente.

Referencias: Wikipedia, “Advanced Linear Algebra” (Steven Roman, Ed. Springer)

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