Archivos Mensuales: octubre 2013

Semimétricas (o seudométricas)

Hemos visto en la entrada anterior la definición de métrica sobre un conjunto E. Vimos que se trataba de una función real d definida en E \times E con la propiedad de ser no negativa, de verificar la simetría d(x,y) = d(y,x) para cada par (x,y) de E \times E, de cumplir la desigualdad triangular d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z) para x,y,z \in E y de anularse exclusivamente en el caso de que el par (x,y) verifique x=y. También vimos que existe otra manera de definirla con menos condiciones, pero una de esas nuevas condiciones era precisamente la anulación de la función sólo en el caso de que los dos componentes del par sean iguales. Cuando esta condición se “relaja” obtenemos lo que se denomina una semimétrica. Es decir, \rho es una semimétrica sobre E si es una aplicación

\rho: E \times E \rightarrow \mathbb{R}

que verifica

(i) si x=y, entonces \rho (x,y) =0.

(ii)  para todos x,y,z \in E, \rho (x,y) \leq \rho (x,z) + \rho (y,z).

Es fácil comprobar siguiendo los desarrollos de la entrada anterior que estas dos condiciones dan lugar a la definición usual de semimétrica. El lector debe darse cuenta que en este caso la ecuación

\rho (x,y) =0

no implica x =y.

 

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Espacios métricos. Definiciones equivalentes.

Un espacio métrico se define como un par (E,d) donde E es un conjunto no vacío y d es una aplicación

d: E \times E \rightarrow \mathbb{R}

que verifica:

(a) para todos x,y de E, se cumple d(x,y) \geq 0.

(b) Para todos x,y de E es ,d(x,y)=d(y,x).

(c) d(x,y)=0 si y sólo si x=y.

(d) Para todos x,y,z de E se cumple d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z) (desigualdad triangular).

La aplicación d se dice entonces que es una métrica sobre E.

Es posible dar una definición equivalente con un número menor de condiciones. Así tenemos que si existe una aplicación d de E \times E en \mathbb{R} que cumple

(i) d(x,y) =0 si y sólo si x=y.

(ii)  d(x,y) \leq d(x,z)+d(y,z), para todos x,y,z \in E,

entonces dicha aplicación es una métrica sobre E y (E,d) es un espacio métrico. Así hemos reducido cuatro condiciones a sólo dos. Veamos ahora la equivalencia. En primer lugar, es claro que las condiciones (b), (c) y (d) implican (i) y (ii), por lo que nos limitaremos a ver que (i) y (ii) implican (a), (b), (c) y (d).

Evidentemente (i) es equivalente a (c). Sea cierto (ii); entonces tomando z=x, resulta

d(x,y) \leq d(x,x)+d(y,x),

pero como por (i) es d(x,x)=0, tenemos que

d(x,y) \leq d(y,x).

Análogamente, si cambiamos x por y en la expresión (ii), resulta

d(y,x) \leq d(y,z)+d(x,z),

por lo que tomando z=y, llegamos a

d(y,x) \leq d(y,y)+d(x,y) = d(x,y).

La doble desigualdad implica que d(x,y) = d(y,x) y así (ii) implica (b).

Sean cierto (i) y (ii), entonces haciendo x=y, vemos que

d(x,x) \leq d(x,z)+d(x,z),

es decir, 2d(x,z) \geq 0 y de aquí d(x,z) \geq 0. Esto significa que la aplicación d da siempre resultados positivos o nulos y en consecuencia, se cumple (a). Finalmente, (i) y (ii) implican (b) y (b) junto con (ii) implica (d).

Espacios vectoriales sobre cuerpos de característica igual a 2

Repasando la definición de espacio vectorial me asaltó la duda de si han de describirse siempre utilizando cuerpos de característica cero o  este no es un requisito imprescindible. Para llegar a una conclusión práctica me plantee un ejemplo: ¿qué pasaría si un grupo (E,+) se define como espacio vectorial sobre un cuerpo (K,+, ) de característica p =2. Pero antes de todo esto, ¿qué es la característica de un cuerpo y qué nos indica?. Vamos a intentar explicar estos conceptos. En primer lugar, un cuerpo es un conjunto K con dos operaciones que convenimos en llamar suma y multiplicación y en denotar con los símbolos usuales, respecto a las cuales cumple las condiciones siguientes:

a) (K,+) es un grupo conmutativo con neutro que denotamos como 0 (o sea cero) .

b) (K- \{0 \}, ) es un grupo cuyo elemento neutro denotamos por 1 (o sea uno).

c) El producto es distributivo respecto a la suma por ambos lados. Es decir, para cualesquiera x, y,z de K se cumple x(y+z) = xy+xz y también (x+y)z = xz+yz.

En el caso de que el grupo multiplicativo (K-\{0 \}, ) sea conmutativo se dice que el cuerpo es conmutativo.  Por la definición de cuerpo vemos que 0 \neq 1 ya que el neutro multiplicativo 1 pertenece a K- \{0 \}.  Ahora podemos considerar qué ocurre si sumamos el uno consigo mismo varias veces. Esto es, si n es un entero positivo, ¿cómo denotamos la suma

1+1+1+ \ldots +1, (n veces).

Pues la forma más sencilla es utilizar precisamente los enteros positivos. Así pues convenimos en que

1+1+1+ \ldots +1 = n \cdot 1.

Esto se puede generalizar para cualquier elemento de K. Así pues

x+x+x \ldots +x (n veces)  = n\cdot x.

Podemos probar fácilmente que si n,m son enteros positivos y x pertenece a K es

a) (n+m) x = nx +mx,

b) (nm)x = n(mx).

Obsérvese que hemos prescindido del punto siguiendo un abuso de notación que facilita la escritura y resulta “natural”. Llegados a este punto definimos la característica de car(K) mediante

car(K) = 0, si \{ n \in \mathbb{Z}^{+} : n 1 = 0 \} es vacío,

car(K) = \min \{ n \in \mathbb{Z}^{+} : n 1 = 0 \}, en otro caso.

Es decir, la característica es cero si la suma 1+1+ \ldots + 1 no da nunca cero para cualquier número n de sumandos y si la suma da cero para un número n de sumandos, se busca el menor p con esta propiedad y se dice que p es la característica. El principio de la buena ordenación garantiza la existencia de este mínimo.  Se puede probar fácilmente que la característica de un cuerpo ha de ser un número primo. Bastará utilizar la propiedad (b) y el hecho de que un cuerpo es un dominio de integridad (esto es, si un producto xy es nulo entonces algunoo ambos de sus factores x o y son nulos).

Ahora sea E un K-espacio vectorial y sea car(K) =2, entonces

1+1 = 0.

Pero como (\alpha + \beta)x = \alpha x + \beta x, 0 x = 01 x = x para cualesquiera \alpha, \beta de K y para cualquier x \in E, se tiene que

0 = 0x = (1+1) x = 1 x + 1 x = x +x.

Es decir

x+x = 0.

Esto significa que al sumar dos elementos iguales cualesquiera del grupo (E,+) se obtiene el cero, o lo que es lo mismo

x = -x

y cada elemento es su propio opuesto.  Esto es interesante pues nos lleva a considerar ciertas cuestiones de teoría de grupos (que no trataremos ahora).  Lo que está claro es que el comportamiento de este espacio vectorial resultaría cuando menos “extraño” pues se dan igualdades como

\lambda (x+x+x) = \lambda x.