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Una definición equivalente de grupo ordenado

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Leyendo el texto “Elements of Abstract Anaylisis” ( Mícheál Ó Seracóid, Ed. Springer Verlag) me he encontrado con una definición de grupo totalmente ordenado equivalente a la dada en anteriores entradas de esta bitácora. Cito la definición tal como aparece en el texto:

Vamos a comentar esta definición pero antes daremos unos conceptos sobre orden.

Una relación binaria sobre un conjunto , se dice que es un orden estricto si es antireflexiva y transitiva. Es decir, si para cada es y para cada , si , entonces . Escribimos entonces en lugar de y la definición anterior queda una forma más familiar:

a) Para todo , .

b) Para todos , si e , entonces .

Todo orden estricto cumple la antisimetría y que si e , entonces por b) sería . Pero esto contradice a) por lo que o bien se cumple una de las dos desigualdades anteriores o ninguna.

A partir de un orden estricto siempre se puede obtener un orden parcial. Basta añadir la diagonal de a la relación. Es decir, si es un orden estricto en dicho conjunto, es un orden parcial.

Consideremos ahora un grupo abeliano y una partición de en tres subconjuntos: , de forma que es un semigrupo. Esto significa que

i) .

ii) .

iii) .

Definimos una relación en mediante , si y sólo si . Esta relación es un orden estricto conexo. En efecto, sean . Como , se sigue que y la relación es antireflexiva. Si e , tenemos que por lo que , lo que prueba que $x \prec z$ y la relación es transitiva. Para acabar, la diferencia es un elemento de por lo sólo puede ser nula, pertenecer a o a , siendo estas posibilidades mutuamente excluyentes. En el primer caso, . En el segundo, y en el tercero y . Por tanto, todos los elementos de son comparables en esta relación.

Para acabar, bastará añadir a este orden estricto conexo los elementos para obtener un orden total . Este orden total conserva la operación del grupo. Sean y supongamos que . Entonces o . En el primer caso, , por lo que y en el segundo trivialmente y también .

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