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Anillos ordenados (III)

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En un anillo ordenado se cumplen las propiedades más comunes de las desigualdades. Así tenemos que:
(a) Para todos tales que y para todo es .
(b) Para todos tales que y para todo es .
(c) Para todos , si e , entonces .
(d) Para todos , si e , entonces .
(e) Para todos , si e , entonces .
(f) Si es totalmente ordenado, entonces .
(g) Si es unitario y totalmente ordenado, entonces .
(h) Todo anillo unitario totalmente ordenado es de característica cero.

(a) Sean dos elementos de verificando y sea otro elemento de tal que , entonces si es el cono positivo definido por el orden tenemos que y también . Por tanto, pertenece a , de donde .
(b) Del mismo modo, si , entonces y de aquí por lo que . Por tanto, y concluimos que .

(c) Si e , entonces y por lo que y de aquí .

(d) (e) Se prueban de forma análoga a (c) .

(f) Esta propiedad se sigue de la ordenación total. En efecto, para todo es o , por lo que, en todos los casos es y de aquí .

(g) Supongamos que en el anillo , unitario no trivial y totalmente ordenado, es . En tal caso, y aplicando la propiedad (f) concluimos que . De ambas desigualdades llegaríamos a la igualdad . Esto es absurdo por lo que nuestra suposición inicial es falsa y será .

(h) Como , tenemos que para cualquier entero positivo , la suma

pertenece a como podemos probar fácilmente por inducción. Si para algún entero positivo es , entonces
.
Pero si , entonces . Esto es absurdo. Para evitar esta contradicción nuestra suposición inicial es falsa y el anillo unitario y conmutativo totalmente ordenado es de característica cero.

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