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Anillos ordenados (II)

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Vamos a probar que son equivalentes:
a) El anillo es un anillo totalmente ordenado.
b) Existe un subconjunto de que cumple las condiciones siguientes:
i) ,
ii) ,
iii) ,
iv) ,
v) .
Veamos que a) implica b). Para ello, si es el orden total presente en el anillo y compatible con las operaciones de éste, veremos que

es el subconjunto buscado (que, como el lector puede observar, está formado por los elementos “no negativos” de ). En efecto, por construcción y se cumple i).
Sean elementos de , entonces
, .
Por tanto, teniendo en cuenta que el orden es compatible con las operaciones del anillo (suma y producto) resulta al sumar a ambos miembros de la desigualdad primera:
.
Esto prueba que y, por tanto, y se cumple ii).
Consideremos ahora un elemento que pertenezca tanto a como a , entonces y también . Sumando a la última desigualdad vemos que
.
Es decir, . En consecuencia, y , lo que nos lleva a que y se cumple (iii).
La propiedad (iv) es inmediata ya que si es un anillo ordenado, entonces para todos , tales que , se tiene que . Es decir, .
Como el orden es total, dados es o . En particular, si , tenemos que para cualquier es $x \leq 0$ o . En el primer caso, y en el segundo . Por ello y de aquí .

Supongamos que b) es cierto. Definimos una relación en utilizando el conjunto : dados , escribimos , si y sólo si . Veremos que dicha relación es de orden total y además compatible con la estructura de anillo. En primer lugar, como se sigue que para todo y la relación es reflexiva. Supongamos ahora que y también . Esto quier decir que y también . Como , tenemos que , luego , quedando . Esto prueba que la relación es antisimétrica.

Sean , . Es decir, y . Sumando ambas expresiones
.
Luego y la relación es transitiva. Se trata pues de un orden. Veremos que es total. Dados , su diferencia es un elemento de por lo que es nula, pertenece a o pertenece a . En el primer caso , en el segundo y en el tercero .

Si existiera otro conjunto que cumpliera las condiciones i) a iv) y que diera lugar al orden que determina , entonces , ya que una vez establecido dicho orden, se obtiene unívocamente el conjunto que lo determina mediante

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