Anillos ordenados (II)

Vamos a probar que son equivalentes:
a) El anillo $(A,+, )$ es un anillo totalmente ordenado.
b) Existe un subconjunto $P$ de $A$ que cumple las condiciones siguientes:
i) $0 \in P$ ,
ii) $P+P \subset P$ ,
iii) $P \cap (-P) = \{0 \}$ ,
iv) $P P \subset P$ ,
v) $P \cup (-P) =A$ .
Veamos que a) implica b). Para ello, si $\leq$ es el orden total presente en el anillo $A$ y compatible con las operaciones de éste, veremos que
$P = \{x \in A : x \geq 0 \}$
es el subconjunto buscado (que, como el lector puede observar, está formado por los elementos “no negativos” de $A$ ). En efecto, por construcción $0 \in P$ y se cumple i).
Sean $x,y$ elementos de $P$ , entonces
$x \geq 0$ , $y \geq 0$ .
Por tanto, teniendo en cuenta que el orden es compatible con las operaciones del anillo (suma y producto) resulta al sumar $y$ a ambos miembros de la desigualdad primera:
$x+y \geq 0+y = y \geq 0$ .
Esto prueba que $x+y \in P$ y, por tanto, $P+P \subset P$ y se cumple ii).
Consideremos ahora un elemento $x \in A$ que pertenezca tanto a $P$ como a $(-P)$ , entonces $x \geq 0$ y también $-x \geq 0$ . Sumando $x$ a la última desigualdad vemos que
$0= (-x)+x \geq 0 +x = x$ .
Es decir, $x \leq 0$ . En consecuencia, $x \leq 0$ y $x \geq 0$ , lo que nos lleva a que $x=0$ y se cumple (iii).
La propiedad (iv) es inmediata ya que si $A$ es un anillo ordenado, entonces para todos $x,y \in A$ , tales que $x,y \geq 0$ , se tiene que $xy \geq0$ . Es decir, $P P \subset P$ .
Como el orden $\leq$ es total, dados $x,y \in A$ es $x \leq y$ o $y \leq x$ . En particular, si $y=0$ , tenemos que para cualquier $x \in A$ es $x \leq 0$ o $0 \leq x$ . En el primer caso, $x \in (-P)$ y en el segundo $x \in P$ . Por ello $x \in P \cup (-P)$ y de aquí $A = P \cup (-P)$ .

Supongamos que b) es cierto. Definimos una relación en $A$ utilizando el conjunto $P$ : dados $x,y \in A$ , escribimos $x \leq y$ , si y sólo si $y-x \in P$ . Veremos que dicha relación es de orden total y además compatible con la estructura de anillo. En primer lugar, como $x-x = 0 \in P$ se sigue que $x \leq x$ para todo $x \in A$ y la relación es reflexiva. Supongamos ahora que $x \leq y$ y también $y \leq x$ . Esto quier decir que $y-x \in P$ y también $x-y \in P$ . Como $y-x = -(x-y) \in (-P)$ , tenemos que $y-x \in P \cap (-P)$ , luego $y-x = 0$ , quedando $x=y$ . Esto prueba que la relación es antisimétrica.

Sean $x \leq y$ , $y \leq z$ . Es decir, $y-x \in P$ y $z-y \in P$ . Sumando ambas expresiones
$(y-x)+(z-y) = z-x \in P$ .
Luego $x \leq z$ y la relación es transitiva. Se trata pues de un orden. Veremos que es total. Dados $x,y \in A$ , su diferencia $y-x$ es un elemento de $A$ por lo que es nula, pertenece a $P$ o pertenece a $(-P)$ . En el primer caso $x=y$ , en el segundo $x \leq y$ y en el tercero $y \leq x$ .

Si existiera otro conjunto $Q \subset A$ que cumpliera las condiciones i) a iv) y que diera lugar al orden que determina $P$ , entonces $Q = P$ , ya que una vez establecido dicho orden, se obtiene unívocamente el conjunto que lo determina mediante
$S = \{ x \in A : x \geq 0 \}$

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