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Anillos ordenados (I)

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Recordemos que un anillo es un conjunto no vacío dotado de dos operaciones, que convenimos en notar como suma y producto y que verifican

a) es un grupo abeliano.

b) es un semigrupo

c) Para todos es y también

El neutro del grupo se nota por 0. Si el semigrupo es conmutativo decimos que el anillo es conmutativo y si tiene neutro decimos que el anillo es unitario y dicho neutro se nota por 1. Generalmente, prescindimos del símbolo “” para el producto y usamos la yuxtaposición. Esto es, escribimos en lugar de .

Si existe una relación de orden (parcial o total) en un anillo conmutativo , decimos que dicha relación es compatible con las operaciones del anillo si y sólo si

i) es un grupo ordenado.

ii) Para todos , tales que , , es .

En lugar de hablar de órden compatible con la estructura de anillo decimos simplemente que el anillo es ordenado. Si es un anillo ordenado podemos definir el cono positivo de la misma forma que hacíamos para los grupos ordenados:

.

Es fácil probar que en un anillo ordenado, el cono positivo así definido, verifica:

a) .

b).

c) .

d) .

Las propiedades a,b y c ya se demostraron en una entrada anterior y la propiedad d se deduce de la definición de anillo ordenado. En efecto, si son elementos de , entonces e . Por tanto, aplicando ii) es y esto significa que , luego .

Se puede probar que el cono positivo es unívoco para cada orden. Esto es, que podemos caracterizar a los anillos ordenados mediante dichos subconjuntos. En particular,

Teorema: Si es un anillo conmutativo, son equivalentes:

1. El anillo está totalmente ordenado.

2. Existe un subconjunto de , que verifica: , , , y .

Probaremos este y otros interesantes resultados en una entrada posterior.

Referencias: Wikipedia 1, Wikipedia 2

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