Curso EVT. Lectura 2. Primeras propiedades de un espacio vectorial

Una vez establecida la estructura de espacio vectorial sobre un cuerpo conmutativo vamos a dar una serie de propiedades que se deducen directamente de la definición.
Teorema 1. Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K, entonces
a) Para todo x \in E, es 0 x = 0.
b) Para todo \lambda \in K es \lambda 0 = 0.
c) Dados \lambda \in K y x \in E, si \lambda x = 0, entonces \lambda = 0 o x = 0, o ambos son nulos.
d) Para todo \lambda \in K y x \in E, se cumple que (-\lambda) x = \lambda (-x) = - \lambda x.
e) Para todo \lambda \in K y x \in E, es (-\lambda)(-x) = \lambda x.

Obsérvese que en el símbolo cero se emplea indistintamente para el cero del grupo E y para el cero del cuerpo K.

Es importante señalar que en el caso de los módulos, la propiedad c no se cumple.

Ejercicios propuestos.

Soluciones ejercicios: ejercicio 1, ejercicio 2.

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3 pensamientos en “Curso EVT. Lectura 2. Primeras propiedades de un espacio vectorial

  1. wapaezg

    Se puede agregar para el punto c) que: Si el modúlo está sobre un anillo de división, no necesariamente conmutativo, entonces la propiedad c) también se tiene.

    Responder
    1. Mathematicae Autor de la entrada

      Es cierto pero en realidad habría que demostrarlo para el producto por ambos lados y como veremos más adelante, sólo nos va a interesar estudiar espacios vectoriales sobre el cuerpo de los reales o de los complejos y ambos cuerpos son conmutativos.
      Saludos

      Responder

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