Curso EVT. Lectura 2. Primeras propiedades de un espacio vectorial

Una vez establecida la estructura de espacio vectorial sobre un cuerpo conmutativo vamos a dar una serie de propiedades que se deducen directamente de la definición.
Teorema 1. Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K, entonces
a) Para todo x \in E, es 0 x = 0.
b) Para todo \lambda \in K es \lambda 0 = 0.
c) Dados \lambda \in K y x \in E, si \lambda x = 0, entonces \lambda = 0 o x = 0, o ambos son nulos.
d) Para todo \lambda \in K y x \in E, se cumple que (-\lambda) x = \lambda (-x) = - \lambda x.
e) Para todo \lambda \in K y x \in E, es (-\lambda)(-x) = \lambda x.

Obsérvese que en el símbolo cero se emplea indistintamente para el cero del grupo E y para el cero del cuerpo K.

Es importante señalar que en el caso de los módulos, la propiedad c no se cumple.

Ejercicios propuestos.

Soluciones ejercicios: ejercicio 1, ejercicio 2.

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3 comentarios en “Curso EVT. Lectura 2. Primeras propiedades de un espacio vectorial

  1. Se puede agregar para el punto c) que: Si el modúlo está sobre un anillo de división, no necesariamente conmutativo, entonces la propiedad c) también se tiene.

    • Es cierto pero en realidad habría que demostrarlo para el producto por ambos lados y como veremos más adelante, sólo nos va a interesar estudiar espacios vectoriales sobre el cuerpo de los reales o de los complejos y ambos cuerpos son conmutativos.
      Saludos

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