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Curso EVT. Lectura 1. La estructura de espacio vectorial

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Un espacio vectorial es un tipo particular de estructura algebraica que se construye en base a otras estructuras previas. Necesitamos un grupo abeliano y un cuerpo conmutativo . El lector debe observar que hemos utilizado la misma notación (en concreto +) para operaciones que, en principio, no tienen por qué ser la misma. Este abuso de notación se extiende a los elementos neutros y así escribimos 0 para el neutro del grupo y el neutro aditivo del cuerpo. Además, se suelen emplear letras griegas para designar a los elementos del cuerpo y letras latinas para los del grupo.
Definición: Decimos que el grupo es un espacio vectorial sobre el cuerpo conmutativo si existe una ley de composición externa
,
que asigna a cada par de un elemento de y cumple las propiedades siguientes:
(a) para todos y para todo , es .
(b) Para todos y para todo ,.
(c) Para todos y para todo , es .
(d) Para todo , siendo 1 el neutro multiplicativo del cuerpo .

Si es un espacio vectorial sobre , a los elementos de los llamaremos vectores o puntos y a los elementos de escalares. En general, el cuerpo será el de los números reales o el de los números complejos.

Como es un grupo conmutativo, toda suma de vectores no requiere de paréntesis ni depende del orden de los sumandos. Además el neutro aditivo 0 es único, el opuesto de cada es único y podemos escribir . También es válida la ley cancelativa:
implica .

Existe una estructura más general que incluye como caso particular la de espacio vectorial. Es la estructura de módulo. En ella, en lugar de un cuerpo conmutativo consideramos un anillo unitario y conmutativo y mantenemos el resto de condiciones. De esta manera, un grupo es un módulo sobre un anillo unitario y conmutativo si existe una ley de composición externa

,
que asigna a cada par de un elemento de y verifica (a) a (d).

Referencias: Wikipedia, Álgebra, Geometría y Cálculo” (J. A. Díaz Hernando, Ed. Tebar Flores), “Problemas Resueltos de Álgebra” (E. Espada, Ed. Univ. Barcelona), “Álgebra Lineal” (Seymour Lipschutz, Ed. Mac Graw Hill).

Ejercicios propuestos

Soluciones ejercicios: ejercicio 1, ejercicio 2, ejercicio 3, ejercicios 4 y 5

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