Curso EVT. Lectura 1. La estructura de espacio vectorial

Un espacio vectorial es un tipo particular de estructura algebraica que se construye en base a otras estructuras previas. Necesitamos un grupo abeliano (E,+) y un cuerpo conmutativo (K,+, \cdot). El lector debe observar que hemos utilizado la misma notación (en concreto +) para operaciones que, en principio, no tienen por qué ser la misma. Este abuso de notación se extiende a los elementos neutros y así escribimos 0 para el neutro del grupo y el neutro aditivo del cuerpo. Además, se suelen emplear letras griegas para designar a los elementos del cuerpo y letras latinas para los del grupo.
Definición: Decimos que el grupo (E,+) es un espacio vectorial sobre el cuerpo conmutativo (K,+, \cdot) si existe una ley de composición externa
h: K \times E \rightarrow E,
que asigna a cada par (\lambda, x) de K \times E un elemento \lambda x de E y cumple las propiedades siguientes:
(a) para todos \lambda, \mu \in K y para todo x \in E, es (\lambda + \mu)x = \lambda x + \mu x.
(b) Para todos \lambda, \mu \in K y para todo x \in E,(\lambda \cdot \mu) x = \lambda (\mu x).
(c) Para todos x,y \in E y para todo \lambda \in K, es \lambda (x+y) = \lambda x + \lambda y.
(d) Para todo x\in E 1 x = x, siendo 1 el neutro multiplicativo del cuerpo K.

Si E es un espacio vectorial sobre K, a los elementos de E los llamaremos vectores o puntos y a los elementos de K escalares. En general, el cuerpo K será el de los números reales o el de los números complejos.

Como (E,+) es un grupo conmutativo, toda suma de vectores x_1+x_2+ \ldots + x_n no requiere de paréntesis ni depende del orden de los sumandos. Además el neutro aditivo 0 es único, el opuesto -x de cada x es único y podemos escribir x+(-y) = x-y. También es válida la ley cancelativa:
x+y = x+z implica y=z.

Existe una estructura más general que incluye como caso particular la de espacio vectorial. Es la estructura de módulo. En ella, en lugar de un cuerpo conmutativo consideramos un anillo unitario y conmutativo y mantenemos el resto de condiciones. De esta manera, un grupo (E,+) es un módulo sobre un anillo unitario y conmutativo (A,+, \cdot) si existe una ley de composición externa

g: A \times E \rightarrow E,
que asigna a cada par (\lambda, x) de A \times E un elemento \lambda x de E y verifica (a) a (d).

Referencias: Wikipedia, Álgebra, Geometría y Cálculo” (J. A. Díaz Hernando, Ed. Tebar Flores), “Problemas Resueltos de Álgebra” (E. Espada, Ed. Univ. Barcelona), “Álgebra Lineal” (Seymour Lipschutz, Ed. Mac Graw Hill).

Ejercicios propuestos

Soluciones ejercicios: ejercicio 1, ejercicio 2, ejercicio 3, ejercicios 4 y 5

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3 comentarios en “Curso EVT. Lectura 1. La estructura de espacio vectorial

  1. Hola Antonio.

    Me llamo Walter y comenzaré a seguir tu curso, quisiera agregar respecto a esta entrada que: los módulos se dan en general sobre anillos no conmutativos, unitarios.

    Está muy chévere lo que posteas.

    Cordial saludo.

    • Gracias por el interés. Respecto a la idea de módulo tienes razón pero no lo consideré interesante “a priori” ya que hablar de módulos por la izquierda y por la derecha me hubiera llevado a escribir más datos no relevantes para esa entrada.

      • Hola Antonio. Te entiendo completamente, sólo lo comentaba por interés general ya que actualmente se está muy interesado en el caso de módulos sobre anillos no conmutativos, como el caso de la geometría no conmutativa. Muy interesantes tus posts. Un saludo

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