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Grupos ordenados

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Un grupo es un magma en el que la operación es asociativa, existe un elemento neutro y además todo elemento tiene inverso. Por tanto, la idea de magma ordenado se extiende inmediatamente a la de grupo ordenado. En general, nos interesan los grupos conmutativos y esto nos lleva a simplificar la notación y las condiciones para obtener un grupo ordenado. Así, un grupo conmutativo , en el que se ha definido un orden , es un grupo ordenado si y sólo si para todos de , tales que y para todo de es

.

Existe una manera equivalente de obtener grupos ordenados basada en un subconjunto distinguido. En primer lugar, si es un subconjunto no vacío del grupo , definimos

.

El conjunto será vacío y estará formado por los opuestos de los elementos de . Finalmente, si tenemos un orden en , decimos que el conjunto

es el cono positivo definido por el orden en . Es claro que es no vacío pues .

Una vez dadas estas definiciones pasamos a demostrar el siguiente teorema:

Sea un grupo conmutativo. Son equivalentes:

(a) Existe una relación de orden parcial tal que el grupo es ordenado.

(b) Existe un subconjunto de que verifica: , y .
(a) implica (b). Suponemos que es un grupo abeliano ordenado y que es el orden compatible. El cono positivo determinado por el orden es
.
y resulta no vacío ya que, por su misma definición, es uno de sus elementos. Si e son elementos de , entonces e . Como la suma conserva el orden, de la desigualdad se sigue, añadiendo a ambos miembros, que

,

luego

.
Como , resulta por transitividad que y esto supone que es un elemento de y así . Finalmente, si pertenece a y a , es y . Tomando esta última desigualdad y sumando a ambos miembros tenemos

.
Esto significa que y como por hipótesis es , resulta que aplicando la propiedad antisimétrica del orden es . Esto prueba que .

(b) implica (a). Suponemos la existencia de un subconjunto de con las propiedades expuestas en (b) y definimos una relación en mediante: si y sólo si es un elemento de . Probaremos que esta relación es un orden parcial y hace de un grupo ordenado. En efecto, para todo de , es por lo que y la relación es reflexiva. Análogamente, si e , deducimos que pertenece a y también pertenece a . Por tanto, es un elemento de , lo que significa que y . Esto prueba que la relación es antisimétrica. Si además e , entonces es elemento de y también es elemento de y la suma


es un elemento de lo que significa que . Esto prueba la propiedad transitiva. Por tanto, al ser reflexiva, antisimétrica y transitiva, la relación es un orden parcial. Ahora bien, dados cualesquiera de si , tenemos que pertenece por lo que


es un elemento de . Es decir, y el orden es compatible con la operación.

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