Grupos ordenados

Un grupo (G, \star) es un magma en el que la operación es asociativa, existe un elemento neutro y además todo elemento tiene inverso. Por tanto, la idea de magma ordenado se extiende inmediatamente a la de grupo ordenado. En general, nos interesan los grupos conmutativos y esto nos lleva a simplificar la notación y las condiciones para obtener un grupo ordenado. Así, un grupo conmutativo (G, +), en el que se ha definido un orden \leq, es un grupo ordenado si y sólo si para todos x,y de G, tales que x \leq y y para todo z de G es

x+z \leq y+z.

Existe una manera equivalente de obtener grupos ordenados basada en un subconjunto distinguido. En primer lugar, si H es un subconjunto no vacío del grupo G, definimos

-H = \{ -x : x \in G \}.

El conjunto -H será vacío y estará formado por los opuestos de los elementos de H. Finalmente, si tenemos un orden en G, decimos que el conjunto

P = \{x \in G : x \geq 0 \}

es el cono positivo definido por el orden en G. Es claro que P es no vacío pues 0 \in P.

Una vez dadas estas definiciones pasamos a demostrar el siguiente teorema:

Sea (G,+) un grupo conmutativo. Son equivalentes:

(a) Existe una relación de orden parcial \leq tal que el grupo (G,+) es ordenado.

(b) Existe un subconjunto P de G que verifica: 0 \in P, P+P \subset P y P \cap (-P) = \{0 \}.
(a) implica (b). Suponemos que G es un grupo abeliano ordenado y que \leq es el orden compatible. El cono positivo determinado por el orden es
P = \{ x \in G : x \geq 0 \}.
y resulta no vacío ya que, por su misma definición, es 0 uno de sus elementos. Si x e y son elementos de P, entonces x \geq 0 e y \geq 0. Como la suma conserva el orden, de la desigualdad x \geq 0 se sigue, añadiendo y a ambos miembros, que

x+y \geq 0+y,

luego

x+y \geq y.
Como y \geq 0, resulta por transitividad que x+y \geq 0 y esto supone que x+y es un elemento de P y así P+P \subset P. Finalmente, si x pertenece a P y a -P, es x \geq 0 y -x \geq 0. Tomando esta última desigualdad y sumando x a ambos miembros tenemos

(-x)+x \geq 0+x.
Esto significa que x \leq 0 y como por hipótesis es x \geq 0, resulta que aplicando la propiedad antisimétrica del orden es x=0. Esto prueba que P \cap (-P) = \{0 \}.

(b) implica (a). Suponemos la existencia de un subconjunto P de G con las propiedades expuestas en (b) y definimos una relación \preceq en G mediante: x \preceq y si y sólo si y-x es un elemento de P. Probaremos que esta relación \preceq es un orden parcial y hace de G un grupo ordenado. En efecto, para todo x de G, es x-x = 0 por lo que x \preceq x y la relación es reflexiva. Análogamente, si x \preceq y e y \preceq x, deducimos que y-x pertenece a P y x-y = -(y-x) también pertenece a P. Por tanto, y -x es un elemento de P \cap (-P), lo que significa que y-x=0 y x=y. Esto prueba que la relación es antisimétrica. Si además x \preceq y e y \preceq z, entonces y-x es elemento de P y z-y también es elemento de P y la suma

(z-y)+(y-x) = z-x
es un elemento de P lo que significa que x \preceq z. Esto prueba la propiedad transitiva. Por tanto, al ser reflexiva, antisimétrica y transitiva, la relación \preceq es un orden parcial. Ahora bien, dados cualesquiera x,y,z de G si x \preceq y, tenemos que y-x pertenece P por lo que

(y+z)-(x+z) = y-x
es un elemento de P. Es decir, x+z \preceq y+z y el orden es compatible con la operación.

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