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Una desigualdad interesante

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Sean y dos números reales positivos y sean y dos números reales del intervalo abierto tales que , entonces

En el caso de que , se tiene

,

,

y la desigualdad no estricta se cumple de forma trivial. En el caso de que y sean distintos, hay dos posibilidades: y . Tomamos la primera y el lector puede darse cuenta que, por simetría, demostrar este caso equivale a demostrar el otro. Así pues, sea la función

en el intervalo . Como es un número real positivo, esta función es continua en dicho intervalo cerrado y derivable en el intervalo abierto por lo que podemos aplicarle el teorema del valor medio. Existe pues un número real tal que

.

Es decir,

.

Por tanto,

.

Ahora bien, como , es , por lo que

.

Por otro lado,   y , de donde y , lo que permite transformar la igualdad anterior en desigualdad

.

Multiplicando ambos miembros por queda

.

Operamos

,

,

,

.

Como , llegamos a

.

Esto termina la demostración.

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