Una desigualdad interesante

Sean a y b dos números reales positivos y sean p y q dos números reales del intervalo abierto (0,1) tales que p+q =1, entonces

a^{p} b^{q} \leq ap+bq

En el caso de que a = b = x, se tiene

x^{p} x^{q} = x^{p+q} = x^{1} = x,

xp+xq = x(p+q) = x,

y la desigualdad no estricta se cumple de forma trivial. En el caso de que a y b sean distintos, hay dos posibilidades: a <b y b <a. Tomamos la primera y el lector puede darse cuenta que, por simetría, demostrar este caso equivale a demostrar el otro. Así pues, sea la función

f(x) = x^{q}

en el intervalo [a,b]. Como q es un número real positivo, esta función es continua en dicho intervalo cerrado y derivable en el intervalo abierto (a,b) por lo que podemos aplicarle el teorema del valor medio. Existe pues un número real a<t <b tal que

\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(t).

Es decir,

\frac{b^{q} -a^{q}}{b-a} = q t^{q-1}.

Por tanto,

b^{q} -a^{q} = (b-a) q t^{q-1}.

Ahora bien, como p+q=1, es q-1 = -p, por lo que

b^{q}- a^{q} = (b-a) q t^{-p}.

Por otro lado,  a < t y p>0, de donde a^{p} <t^{p} y t^{-p} < a^{-p}, lo que permite transformar la igualdad anterior en desigualdad

b^{q} -a^{q} < (b-a) q a^{-p}.

Multiplicando ambos miembros por a^{p} queda

(b^{q} -a^{q}) a^{p} <(b-a) q.

Operamos

b^{q} a^{p} - a^{p+q} < (b-a)q,

b^{q} a^{p} -a < bq-aq,

b^{q} a^{p} < bq-aq+a,

b^{q} a^{p} < bq +a (1-q).

Como p=1-q, llegamos a

b^{q}a^{p} < bq +ap.

Esto termina la demostración.

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