Cota superior para el número de vectores linealmente independientes en un espacio vectorial de dimensión finita

Vamos a demostrar un resultado clave en la prueba de la equicardinalidad de las bases de los espacios vectoriales de dimensión finita.

Sea E un K-espacio vectorial no trivial y sea A una base de E n elementos . Entonces si B=\{y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{m} \} es un conjunto de vectores de E linealmente independiente, se tiene que m \leq n.

Supongamos que m >n. Entonces hallaríamos al menos n+1 vectores y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}, y_{n+1} de B linealmente independientes y, en consecuencia, no nulos. Por el lema anterior, sabemos que si F(y_{1}) es el conjunto de los vectores de A que intervienen, con coeficientes no nulos, en la combinación lineal que da lugar a y_{1} y si z_{1} es un elemento de F(y_{1}), entonces el conjunto A_{1} =(A-\{z_{1}\}) \cup \{y_{1} \} es una base de E. Análogamente, si consideramos el vector y_{2} de B, el correspondiente conjunto F(y_{2})\subset A_{1} y un vector z_{2} de F(y_{2}), podemos ver que el conjunto A_{2} = (A - \{z_{1}, z_{2} \}) \cup \{y_{1}, y_{2} \} es un sistema generador de E. También resultará linealmente independiente ya que A- \{z_{1}, z_{2} \} es linealmente independiente al ser subconjunto de A y los vectores y_{1} e y_{2} no dependen linealmente de A- \{z_{1}, z_{2} \} y tampoco uno del otro. Así pues, A_{2} es una base. Vamos a generalizar este proceso. Supongamos que r es un entero positivo mayor o igual que uno y menor que n y que tenemos un subconjunto \{z_1, z_2, \ldots, z_r \} de A de forma que

A_r = (A- \{z_1, z_2, \ldots, z_r \}) \cup \{y_1, y_2, \ldots, y_r \}

es una base de E. Entonces, y_{r+1} depende linealmente de A_r y es combinación lineal, con coeficientes no nulos, de un subconjunto finito no vacío F(y_{r+1}) de A_r. Como los vectores y_1, y_2, \ldots, y_r, y_{r+1} son linealmente independientes, es claro que y_{r+1} no es combinación lineal de y_1, y_2, \ldots, y_r por lo que existe z_{r+1} de A-\{z_1, z_2, \ldots, z_r \} en F(y_{r+1}). El conjunto

A_{r+1} = (A - \{z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{r}, z_{r+1} \}) \cup \{y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{r}, y_{r+1} \}

es una base de E. En efecto, es linealmente independiente al ser el conjunto A-\{z_1, z_2, \ldots, z_r, z_{r+1} \} un subconjunto de A, al ser y_1, y_2, \ldots, y_r, y_{r+1} a su vez, linealmente independientes y no pertenecer a la envoltura del conjunto A-\{z_1, z_2, \ldots, z_r, z_{r+1} \}. Por otro lado, es un sistema generador ya que A_r es un sistema generador y toda combinación donde interviene z_{r+1} se puede obtener utilizando su relación con y_{r+1}.

Una vez probada la posibilidad de reiterar esta construcción vemos que para n se obtiene el conjunto

(A -\{z_1, z_2, \ldots, z_n \} ) \cup \{y_1, y_2, \ldots, y_n \} = \emptyset \cup \{y_1, y_2, \ldots, y_n \} = \{y_1, y_2, \ldots, y_n \}

que resulta ser una base de E y por ende, un sistema generador. En consecuencia, y_{n+1} depende linealmente de \{y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n} \} y por ello B es linealmente dependiente en contra de lo supuesto. Por tanto, este proceso de reemplazo para obtener nuevas bases ha de acabarse antes de llegar a n reemplazos y de aquí que m \leq n.

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