Un lema para la demostración de la equicardinalidad de las bases de espacios vectoriales de dimensión finita

Sabemos, en virtud del Lema de Zorn, que todo espacio vectorial tiene al menos una base (en el caso del espacio vectorial trivial se conviene que dicha base esté formada sólo por el conjunto vacío).  Si la base de dicho espacio vectorial tiene cardinal finito se dice que el espacio vectorial es de dimensión finita. Se puede probar que cualquier otra base de dicho espacio tendrá el mismo cardinal finito que la encontrada en primer lugar. En virtud de esto es posible definir la idea de dimensión como un invariante de dicho espacio vectorial. La prueba de la equicardinalidad se basa en una serie de sustituciones. Nosotros daremos aquí un lema que vamos a utilizar para el desarrollo final de esta prueba (que daremos en una entrada posterior).

Sea E un K espacio vectorial no trivial y sea A=(x_{i})_{i=1}^{n} una base de E con n elementos. Supongamos que y es un vector no nulo de E; entonces podemos obtener una nueva base de E eliminando un elemento de A y sustituyéndolo por el vector y.

Como A es una base e y \neq 0, hallaremos que y = \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} x_{i} con no todos los \lambda_{i} nulos. Por tanto, el conjunto de índices
S= \{ i \in \{1,2, \ldots,n\} : \lambda_{i} \neq 0 \}
es no vacío y el conjunto de vectores F(y)= \{x_{i} \in A : i \in S \} es un subconjunto no vacío de A. Sea k un elemento de S, y sea z = x_{k} un elemento de F(y), podemos escribir
y = \sum_{i \in S} \lambda_{i} x_{i}= \lambda_{k} z + \sum_{i \in S- \{k \} } \lambda_{i} x_{i}.
Despejando el valor de z obtenemos

z = \lambda_{k}^{-1} (y - \sum_{i \in S-\{k\}} \lambda_{i} x_{i}).

Probaremos que A_{1} = (A- \{z \}) \cup \{ y \} es una base de E. En primer lugar, para cualquier x de E, sabemos que x pertenece a la envoltura lineal de A y, en consecuencia, se puede obtener como combinación lineal de los elementos de A. Si en tal combinación sustituimos el valor de z por el valor despejado en la ecuación anterior es evidente que x pertenece a la envoltura lineal de A_{1}. Por tanto, E está generado por A_{1}. Veremos finalmente que A_{1} es linealmente independiente. En primer lugar, A-\{z \} es linealmente independiente al ser subconjunto de un conjunto A que es linealmente independiente. Por otro lado, y es no nulo y no depende linealmente de A- \{z \} pues en caso contrario tendría dos expresiones como combinación lineal de elementos de A: una en la que interviene el vector z y otra en la que no. Así pues, A_{1} =(A-\{z \})\cup \{y \} es linealmente independiente y esto acaba nuestra demostración.

 

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2 comentarios en “Un lema para la demostración de la equicardinalidad de las bases de espacios vectoriales de dimensión finita

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