Semimétricas (o seudométricas)

Hemos visto en la entrada anterior la definición de métrica sobre un conjunto E. Vimos que se trataba de una función real d definida en E \times E con la propiedad de ser no negativa, de verificar la simetría d(x,y) = d(y,x) para cada par (x,y) de E \times E, de cumplir la desigualdad triangular d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z) para x,y,z \in E y de anularse exclusivamente en el caso de que el par (x,y) verifique x=y. También vimos que existe otra manera de definirla con menos condiciones, pero una de esas nuevas condiciones era precisamente la anulación de la función sólo en el caso de que los dos componentes del par sean iguales. Cuando esta condición se “relaja” obtenemos lo que se denomina una semimétrica. Es decir, \rho es una semimétrica sobre E si es una aplicación

\rho: E \times E \rightarrow \mathbb{R}

que verifica

(i) si x=y, entonces \rho (x,y) =0.

(ii)  para todos x,y,z \in E, \rho (x,y) \leq \rho (x,z) + \rho (y,z).

Es fácil comprobar siguiendo los desarrollos de la entrada anterior que estas dos condiciones dan lugar a la definición usual de semimétrica. El lector debe darse cuenta que en este caso la ecuación

\rho (x,y) =0

no implica x =y.

 

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