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Espacios métricos. Definiciones equivalentes.

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Un espacio métrico se define como un par donde es un conjunto no vacío y es una aplicación

que verifica:

(a) para todos de , se cumple .

(b) Para todos de es ,.

(c) si y sólo si .

(d) Para todos de se cumple (desigualdad triangular).

La aplicación se dice entonces que es una métrica sobre .

Es posible dar una definición equivalente con un número menor de condiciones. Así tenemos que si existe una aplicación de en que cumple

(i) si y sólo si .

(ii)  , para todos ,

entonces dicha aplicación es una métrica sobre y es un espacio métrico. Así hemos reducido cuatro condiciones a sólo dos. Veamos ahora la equivalencia. En primer lugar, es claro que las condiciones (b), (c) y (d) implican (i) y (ii), por lo que nos limitaremos a ver que (i) y (ii) implican (a), (b), (c) y (d).

Evidentemente (i) es equivalente a (c). Sea cierto (ii); entonces tomando , resulta

,

pero como por (i) es , tenemos que

.

Análogamente, si cambiamos por en la expresión (ii), resulta

,

por lo que tomando , llegamos a

.

La doble desigualdad implica que y así (ii) implica (b).

Sean cierto (i) y (ii), entonces haciendo , vemos que

,

es decir, y de aquí . Esto significa que la aplicación da siempre resultados positivos o nulos y en consecuencia, se cumple (a). Finalmente, (i) y (ii) implican (b) y (b) junto con (ii) implica (d).

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