Espacios métricos. Definiciones equivalentes.

Un espacio métrico se define como un par (E,d) donde E es un conjunto no vacío y d es una aplicación

d: E \times E \rightarrow \mathbb{R}

que verifica:

(a) para todos x,y de E, se cumple d(x,y) \geq 0.

(b) Para todos x,y de E es ,d(x,y)=d(y,x).

(c) d(x,y)=0 si y sólo si x=y.

(d) Para todos x,y,z de E se cumple d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z) (desigualdad triangular).

La aplicación d se dice entonces que es una métrica sobre E.

Es posible dar una definición equivalente con un número menor de condiciones. Así tenemos que si existe una aplicación d de E \times E en \mathbb{R} que cumple

(i) d(x,y) =0 si y sólo si x=y.

(ii)  d(x,y) \leq d(x,z)+d(y,z), para todos x,y,z \in E,

entonces dicha aplicación es una métrica sobre E y (E,d) es un espacio métrico. Así hemos reducido cuatro condiciones a sólo dos. Veamos ahora la equivalencia. En primer lugar, es claro que las condiciones (b), (c) y (d) implican (i) y (ii), por lo que nos limitaremos a ver que (i) y (ii) implican (a), (b), (c) y (d).

Evidentemente (i) es equivalente a (c). Sea cierto (ii); entonces tomando z=x, resulta

d(x,y) \leq d(x,x)+d(y,x),

pero como por (i) es d(x,x)=0, tenemos que

d(x,y) \leq d(y,x).

Análogamente, si cambiamos x por y en la expresión (ii), resulta

d(y,x) \leq d(y,z)+d(x,z),

por lo que tomando z=y, llegamos a

d(y,x) \leq d(y,y)+d(x,y) = d(x,y).

La doble desigualdad implica que d(x,y) = d(y,x) y así (ii) implica (b).

Sean cierto (i) y (ii), entonces haciendo x=y, vemos que

d(x,x) \leq d(x,z)+d(x,z),

es decir, 2d(x,z) \geq 0 y de aquí d(x,z) \geq 0. Esto significa que la aplicación d da siempre resultados positivos o nulos y en consecuencia, se cumple (a). Finalmente, (i) y (ii) implican (b) y (b) junto con (ii) implica (d).

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