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Espacios vectoriales sobre cuerpos de característica igual a 2

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Repasando la definición de espacio vectorial me asaltó la duda de si han de describirse siempre utilizando cuerpos de característica cero o  este no es un requisito imprescindible. Para llegar a una conclusión práctica me plantee un ejemplo: ¿qué pasaría si un grupo se define como espacio vectorial sobre un cuerpo de característica . Pero antes de todo esto, ¿qué es la característica de un cuerpo y qué nos indica?. Vamos a intentar explicar estos conceptos. En primer lugar, un cuerpo es un conjunto con dos operaciones que convenimos en llamar suma y multiplicación y en denotar con los símbolos usuales, respecto a las cuales cumple las condiciones siguientes:

a) es un grupo conmutativo con neutro que denotamos como (o sea cero) .

b) es un grupo cuyo elemento neutro denotamos por (o sea uno).

c) El producto es distributivo respecto a la suma por ambos lados. Es decir, para cualesquiera de se cumple y también .

En el caso de que el grupo multiplicativo sea conmutativo se dice que el cuerpo es conmutativo.  Por la definición de cuerpo vemos que ya que el neutro multiplicativo pertenece a .  Ahora podemos considerar qué ocurre si sumamos el uno consigo mismo varias veces. Esto es, si es un entero positivo, ¿cómo denotamos la suma

, ( veces).

Pues la forma más sencilla es utilizar precisamente los enteros positivos. Así pues convenimos en que

.

Esto se puede generalizar para cualquier elemento de . Así pues

( veces)  .

Podemos probar fácilmente que si son enteros positivos y pertenece a es

a) ,

b) .

Obsérvese que hemos prescindido del punto siguiendo un abuso de notación que facilita la escritura y resulta “natural”. Llegados a este punto definimos la característica de mediante

, si  es vacío,

, en otro caso.

Es decir, la característica es cero si la suma no da nunca cero para cualquier número de sumandos y si la suma da cero para un número de sumandos, se busca el menor con esta propiedad y se dice que es la característica. El principio de la buena ordenación garantiza la existencia de este mínimo.  Se puede probar fácilmente que la característica de un cuerpo ha de ser un número primo. Bastará utilizar la propiedad (b) y el hecho de que un cuerpo es un dominio de integridad (esto es, si un producto es nulo entonces algunoo ambos de sus factores o son nulos).

Ahora sea un -espacio vectorial y sea , entonces

.

Pero como ,  para cualesquiera de y para cualquier , se tiene que

.

Es decir

.

Esto significa que al sumar dos elementos iguales cualesquiera del grupo se obtiene el cero, o lo que es lo mismo

y cada elemento es su propio opuesto.  Esto es interesante pues nos lleva a considerar ciertas cuestiones de teoría de grupos (que no trataremos ahora).  Lo que está claro es que el comportamiento de este espacio vectorial resultaría cuando menos “extraño” pues se dan igualdades como

.

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