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Números perfectos

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Recordemos que los números perfectos fueron definidos por Euclides como aquellos que son iguales a la suma de todos sus divisores propios, es decir, iguales a la suma de todos sus divisores diferentes de él mismo. Por ejemplo, 6 es un número perfecto puesto que 6=1+2+3. Existen otros números pefectos como 28, 496, 8128. 33550336, etc. Los cuatro primeros números perfectos (6, 28, 496 y 8128) se conocían en la antigüedad clásica (Nicómaco de Gerasa los incluyó en su “Introductio Arithmeticae”) y los restantes se han ido descubriendo a lo largo de la historia (algunos muy recientemente). Todavía no se sabe si hay infinitos de ellos. Fue también Euclides quien dio una condición suficiente para que un número par sea perfecto. Veamos cómo lo hizo. Consideremos un número entero de la forma

donde es primo y es un entero positivo. ¿Cómo son los divisores de este número? Pues se obtienen mediante los diferentes productos de los divisores de cada factor. Es decir,

Si quitamos el último de ellos (para tener sólo los menores que ) y los sumamos, obtenemos

Si fuera perfecto, entonces . Es decir,


de donde simplificando concluimos que

Esto significa que es un primo de Mersenne. En definitiva, si suponemos que es perfecto ha de tener la forma

siendo primo (observe el lector que es par). Tenemos ya una condición necesaria para que un número par sea número perfecto. Parece ser que se conocía también que esta condición era suficiente aunque Euclides no la dejo establecida. Fue el gran matemático Euler quien nos dio la interesante demostración que pasamos a explicar.
Sea un número par. Es claro que 2 es uno de los factores primos de . En particular, podemos factorizar en la forma

donde es un entero positivo y es impar. Los divisores de se obtienen como antes y de ellos sólo podemos concluir que la suma de todos es

donde es la suma de los divisores de (¿por qué? se preguntará el lector). Si suponemos que es perfecto, entonces , ya que hemos incluido ahora a entre sus divisores. Así pues,


Operando esta expresión vemos que


Meditemos sobre esta última igualdad. Resulta que es la suma de todos los divisores de menos mismo y que resulta que al multiplicar esta suma por una potencia no nula de 2 se obtiene el valor . Es claro que esto significa que es un divisor de . Pero esto resulta absurdo a menos que sea igual a la unidad ya que ¿cómo puede ser un divisor de y al mismo tiempo la suma de todos los divisores de menos mismo?. Por tanto, si se concluye que es primo y

pero esto significa que al ser perfecto (ver demostración anterior) debe escribirse como

Hemos probado entonces que todo número perfecto par es de esta manera y sólo de esta manera. Todavía no se sabe si existen números perfectos impares pero sí algo de las características que deberían tener en caso de existir (serían muy grandes).

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