Estructuras de conjuntos pi-estables (1)

Sea X un conjunto dado y sea \mathcal{R} una clase no vacía de partes de X con una estructura. Decimos que dicha clase tiene una estructura \pi-estable si la intersección de cualquier familia de clases con dicha estructura da lugar a una clase con la misma estructura. Por ejemplo, consideremos un anillo de conjuntos sobre X. Dicha estructura se caracteriza por ser cerrada para la unión de un número finito de sus elementos y para la diferencia de dos cualesquiera de ellos. Además todo anillo contiene al conjunto vacío. Por tanto, si (\mathcal{R}_i)_{i \in I} es una familia de anillos sobre X podemos garantizar que su intersección

\cap_{i \in I} \mathcal{R}_i

es no vacía pues contiene al vacío. Pero además de ser no vacía resulta que también es un anillo sobre X. La demostración de este hecho es sencilla. Por tanto, la estructura de anillo es \pi-estable. También son \pi-estables las álgebras, los \sigma-anillos, las \sigma-álgebras,  etc., pero no son \pi-estables los semianillos, los \pi-sistemas y las clases monótonas. ¿Por qué es deseable la propiedad de \pi-estabilidad? Pues sencillamente porque así podemos garantizar que para una clase no vacía cualquiera (con o sin estructura previa) siempre existe una estructura \pi-estable que la contiene y que además es mínima con esta propiedad de inclusión.

Anuncios

Un comentario en “Estructuras de conjuntos pi-estables (1)

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s