La diferencia de conjuntos (1)

Dados dos conjuntos A y B, su diferencia A-B o complemento relativo de A a B es el conjunto

\{ x \in A : x \notin B \}.

Al tratarse de un subconjunto de A, los axiomas de la teoría de conjuntos nos dicen que existe como tal y no necesitamos un marco más amplio para definirla. Sin embargo, en la mayoría de las ocasiones consideramos dos subconjuntos A y B de un conjunto dado X. En tal caso, la diferencia es un subconjunto de X y su definición es la misma

A-B = \{x \in X : x \in A, x \notin B \}.

Esta segunda interpretación es la que vamos a tomar para dar una serie de propiedades. En primer lugar,

A-A = \emptyset.

Propiedad de inmediata demostración. Por otro lado, en general

A-B \neq B-A.

Las propiedades más interesantes se dan cuando tenemos en cuenta la relación de la diferencia con otras operaciones de conjuntos como la unión, la intersección y el paso al complementario. Así tenemos que el complementario de A en relación a X es

A' = X -A,

y esto nos permite definir

A-B = A \cap B'.

Esta igualdad nos va a ser muy útil para las siguientes demostraciones.

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