Dados dos conjuntos y
, su diferencia
o complemento relativo de
a
es el conjunto
.
Al tratarse de un subconjunto de , los axiomas de la teoría de conjuntos nos dicen que existe como tal y no necesitamos un marco más amplio para definirla. Sin embargo, en la mayoría de las ocasiones consideramos dos subconjuntos
y
de un conjunto dado
. En tal caso, la diferencia es un subconjunto de
y su definición es la misma
.
Esta segunda interpretación es la que vamos a tomar para dar una serie de propiedades. En primer lugar,
.
Propiedad de inmediata demostración. Por otro lado, en general
.
Las propiedades más interesantes se dan cuando tenemos en cuenta la relación de la diferencia con otras operaciones de conjuntos como la unión, la intersección y el paso al complementario. Así tenemos que el complementario de en relación a
es
,
y esto nos permite definir
.
Esta igualdad nos va a ser muy útil para las siguientes demostraciones.