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Bases de Filtro (2)

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Vamos a continuar con algunas propiedades de las bases de filtro. En primer lugar, veremos que se conservan a través de las aplicaciones.
Sean e dos conjuntos no vacíos. Sea una base de filtro sobre y sea una aplicación de en . Afirmamos que la clase

es una base de filtro sobre .
En primer lugar, la clase es no vacía por lo que será no vacía. Además como el vacío no pertenece a , se sigue que para todo de es no vacío y, por tanto, la clase no contiene al vacío. Sean y elementos de . Hallaremos y de , tales que y . Además, como es una base de filtro, existe en , no vacío, tal que . El conjunto es no vacío, pertenece a y verifica
.
Esto termina la demostración.
Por otro lado, supongamos que e son dos conjuntos no vacíos. y es una familia fundamental sobre y una aplicación de en . Si para todo de es no vacío, entonces la clase de las imágenes inversas es una familia fundamental sobre . Veamos la prueba. Sean dos elementos de . Hallaremos dos conjuntos , tales que . Entonces

.

Pero como es una familia fundamental, sabemos que existe con , por lo que


Si la intersección fuera vacía, entonces como , concluiríamos que la intersección es vacía pues en otro caso su imagen inversa no sería vacía. Así pues, y . Para acabar, si la intersección no fuera vacía, entonces el conjunto es no vacío y también son   y no vacíos.

En el teorema anterior, la condición de corte de todo con el recorrido de la aplicación es esencial. En efecto, podemos asegurar en esas circunstancias que el vacío se obtiene sólo como imagen inversa del vacío.

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