Bases de Filtro (2)

Vamos a continuar con algunas propiedades de las bases de filtro. En primer lugar, veremos que se conservan a través de las aplicaciones.
Sean X e Y dos conjuntos no vacíos. Sea \mathcal{H} una base de filtro sobre X y sea f una aplicación de X en Y. Afirmamos que la clase
f(\mathcal{H}) = \{f(A) : A \in \mathcal{H} \}
es una base de filtro sobre Y.
En primer lugar, la clase \mathcal{H} es no vacía por lo que f(\mathcal{H}) será no vacía. Además como el vacío no pertenece a \mathcal{H}, se sigue que para todo A de \mathcal{H} es f(A) no vacío y, por tanto, la clase f(\mathcal{H}) no contiene al vacío. Sean U y V elementos de f(\mathcal{H}). Hallaremos A y B de \mathcal{H}, tales que U = f(A) y V = f(B). Además, como \mathcal{H} es una base de filtro, existe C en \mathcal{H}, no vacío, tal que C \subset A \cap B . El conjunto W = f(C) es no vacío, pertenece a f(\mathcal{H}) y verifica
W= f(C) \subset f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B) = U \cap V .
Esto termina la demostración.
Por otro lado, supongamos que X e Y son dos conjuntos no vacíos. y \mathcal{J} es una familia fundamental sobre Y y f una aplicación de X en Y. Si para todo B de \mathcal{J} es B \cap f(X) no vacío, entonces la clase de las imágenes inversas f^{-1}(\mathcal{J}) = \{ f^{-1} (B) : B \in \mathcal{J} \} es una familia fundamental sobre X. Veamos la prueba. Sean A_{1}, A_{2} dos elementos de f^{-1}(\mathcal{J}). Hallaremos dos conjuntos B_{1}, B_{2} \in \mathcal{J}, tales que A_{1}= f^{-1}(B_{1}),A_{2}= f^{-1}(B_{2}). Entonces

A_{1} \cap A_{2} = f^{-1}(B_{1}) \cap f^{-1}(B_{2}) = f^{-1} (B_{1} \cap B_{2}).

Pero como \mathcal{J} es una familia fundamental, sabemos que existe B_{3} \in \mathcal{J} con B_{3} \subset B_{1} \cap B_{2}, por lo que

f^{-1} (B_3) \subset f^{-1}(B_1 \cap B_2) = A_1 \cap A_2
Si la intersección A_{1} \cap A_{2} fuera vacía, entonces como B_{1} \cap B_{2} \cap f(X) \neq \emptyset, concluiríamos que la intersección B_{1} \cap B_{2} es vacía pues en otro caso su imagen inversa no sería vacía. Así pues, B_{3} = \emptyset y f^{-1} (B_{3}) = \emptyset. Para acabar, si la intersección A_{1} \cap A_{2} no fuera vacía, entonces el conjunto B_{1} \cap B_{2} es no vacío y también son  B_{3} y A_{3} = f^{-1} (B_{3}) no vacíos.

En el teorema anterior, la condición de corte de todo B \in \mathcal{J} con el recorrido de la aplicación f: X \rightarrow Y es esencial. En efecto, podemos asegurar en esas circunstancias que el vacío se obtiene sólo como imagen inversa del vacío.

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